Импликация. Почему определяется именно так?

[Amigo]

Уважаемые математики! Помогите разобраться -почему в логике импликация
определяется именно таким а не каким либо иным образом?
То есть почему таблица истинности для этой операции задаётся именно таким способом?
Что касается двух случаев, когда:
1. $A=\text{true}, B=\text{true}, A\to B = \text{true}$
2. $A=\text{true}, B=\text{false}, A\to B = \text{false}$

- то здесь вроде как всё ясно и первая из них мной воспринимается так:" Если мы исходили из верной посылки и правильно рассуждали то мы должны с необходимостью прийти к верному выводу". А вторая так: "Если мы исходили из верной посылки но пришли к не верному выводу - значит мы не правильно рассуждали".
Но остальные два случая, когда
3. $A=\text{false}, B=\text{true}, A\to B = \text{true}$
4. $A=\text{false}, B=\text{false}, A\to B = \text{true}$
- представляют для меня серьёзные трудности. Во-первых я не могу их даже прочитать,
как два первых случая. Во-вторых не могу придумать не одного реального примера который был бы для меня убедительным и который оправдывал бы именно такой выбор значений у этой операции. Помогите пожалуйста в этом разобраться. Или посоветуйте литературу где об этом можно было бы подробно почитать.

[Someone]

Если мы исходили из ложной посылки, то можем получить как истинный, так и ложный результат.

[Amigo]

Хорошо,тогда такой пример. Пусть есть два высказывания:
$A=\{\text{.
$B=\{\text{
Разберём отдельно случаи сложного высказывания " если $A$ то $B$"
1. Если дождь действительно идёт и земля действительно мокрая
то высказывание "если идёт дождь то земля мокрая" - истинно, и это понятно.
2. Если дождь НЕ идёт а земля тем не менее мокрая, то высказывание "если идёт дождь то земля мокрая"- тоже признаётся за истинное, но это уже непонятно. или ... тут другое высказывание "если НЕ идёт дождь то земля мокрая" признаётся за истину?

[Someone]

Если дождь не идёт, то есть, $A$ ложно, то земля может быть как мокрой, так и сухой, то есть, $B$ может быть как истинным, так и ложным, поэтому $A\Rightarrow B$ и $A\Rightarrow\neg B$ оба должны быть истинными.

Но Ваш пример мне кажется неудачным, поскольку истинности высказываний здесь не фиксированы, и это сильно запутывает.

Давайте возьмём заведомо ложное утверждение $A=\{\text{Все натуральные числа чётные}\}$ и два утверждения $B=\{\text{Число $2$ чётное}\}$ (истинное) и $C=\{\text{Число $3$ чётное}\}$ (ложное). Тогда $A\Rightarrow B$ и $A\Rightarrow C$ оба истинны, поскольку из $A$ явно следуют и $B$, и $C$.

[Gordmit]

А верно ли, что из любой ложной посылки можно вывести любое утверждение (неважно, истинное или ложное)? Если да, то как это обосновать?

[esperanto]

Gordmit писал(а):

А верно ли, что из любой ложной посылки можно вывести любое утверждение (неважно, истинное или ложное)? Если да, то как это обосновать?

Да верно. Доказывается формально. $a, \neg a \vDash b$

[luitzen]

Gordmit писал(а):

А верно ли, что из любой ложной посылки можно вывести любое утверждение (неважно, истинное или ложное)? Если да, то как это обосновать?

Ну, я бы «обосновал» это так.
Пусть $p$ — Ваше ложное высказывание. Тогда имеем $\neg p$ в качестве истинного высказывания. Из $p$ получаем $p \vee q$, а из $p\vee q$ и $\neg p$ получаем $q$. Надеюсь, последнее «правило вывода» возражений не вызывает :).

Вообще, разговор плавно скатывается к так называемым парадоксам материальной импликации.

Amigo писал(а):

Или посоветуйте литературу где об этом можно было бы подробно почитать.

Быть может, Е. К. Войшвилло «Символическая логика: классическая и релевантная».

P. S. Пока писал (а хотел написать гораздо более подробно), придумал классную фразу (детей пугать): «Сукцедент секвенции может и не стать антецедентом импликации».

[Amigo]

Немного сменим тему.
Возникло два вопроса:
1. Из утверждения "$A$" я вывел следствие "$B$" но и из утверждения
"не $A$" я также вывел следствие "$B$". Известно, что $B$ - истинно. Как же мне узнать какое из двух утверждений - "$A$" или "не $A$" истинно?
Ведь не могут же они одновременно быть истинными?

2. Из утверждения "$A$" я вывел следствие "$B$" а из утверждения
"не $A$" я вывел следствие "$C$". Верно ли тогда, что истинно одно
из двух:
1. $B$ -истинно а $C$ - ложно, либо
2. $B$ - ложно а $C$ истинно
Но не в коем случае не может быть так, что и $B$ и $C$ одновременно истинны либо одно временно ложны? Как это обосновать?

[Brukvalub]

Amigo писал(а):

1. Из утверждения "$A$" я вывел следствие "$B$" но и из утверждения
"не $A$" я также вывел следствие "$B$". Известно, что $B$ - истинно. Как же мне узнать какое из двух утверждений - "$A$" или "не $A$" истинно?

При наличии только этой информации - никак.

Amigo писал(а):

2. Из утверждения "$A$" я вывел следствие "$B$" а из утверждения
"не $A$" я вывел следствие "$C$". Верно ли тогда, что истинно одно
из двух:
1. $B$ -истинно а $C$ - ложно, либо
2. $B$ - ложно а $C$ истинно
Но не в коем случае не может быть так, что и $B$ и $C$ одновременно истинны либо одно временно ложны?

Следствия не могут быть одновременно ложными, все остальное может случиться.

[Amigo]

Brukvalub писал(а):

Amigo писал(а):

1. Из утверждения "$A$" я вывел следствие "$B$" но и из утверждения
"не $A$" я также вывел следствие "$B$". Известно, что $B$ - истинно. Как же мне узнать какое из двух утверждений - "$A$" или "не $A$" истинно?

При наличии только этой информации - никак.

А что нужно ещё добавить?

Brukvalub писал(а):

Amigo писал(а):

2. Из утверждения "$A$" я вывел следствие "$B$" а из утверждения
"не $A$" я вывел следствие "$C$". Верно ли тогда, что истинно одно
из двух:
1. $B$ -истинно а $C$ - ложно, либо
2. $B$ - ложно а $C$ истинно
Но не в коем случае не может быть так, что и $B$ и $C$ одновременно истинны либо одно временно ложны?

Следствия не могут быть одновременно ложными, все остальное может случиться.

А какие нужно тогда добавить условия, что бы совершенно исключить одновременную истинность следствий?

[Brukvalub]

Amigo писал(а):

А что нужно ещё добавить?

Слишком общая постановка вопроса. Вот если бы Вам удалось из А вывести не-А, то я бы точно знал, что А - ложно .

Amigo писал(а):

А какие нужно тогда добавить условия, что бы совершенно исключить одновременную истинность следствий?

Слишком общая постановка вопроса.

[Amigo]

Не много в сторону.
Сделаем ряд определений:
1. Аксиома – некоторое утверждение, которое не может быть выведено из данной теории и обязательно истинное. Истинность мы приписываем ему от балды.

2. Доказательство – ряд ИСТИННЫХ утверждений, каждое из которых есть либо аксиома, либо получено на основании аксиом по закону логического следования а последнее утверждение совпадает с тем утверждением которое доказывается .






Сделаем утверждение:
Cсуществуют ложные доказуемые утверждения

Если это утверждение истинно тогда действительно такие утверждения существуют. То есть существуют ложные доказуемые утверждения. Но если они имеют доказательство, то в силу определения 2 – они является последним утверждением в некоторой цепочке, каждое из которых истинно. Следовательно они должны быть истинными. Противоречие.

Если это утверждение ложно, тогда таких утверждений не существует. Но тогда это утверждение будучи ложным - не доказуемо. То есть нельзя доказать, что существуют ложные доказуемые утверждения. Но если что то нельзя доказать, а это тем не менее утверждается то значит это аксиома. Но всякая аксиома в силу определения 1 всегда истинна. Значит утверждение «Существуют ложные доказуемые утверждения» - истинно. Опять противоречие.

Где ошибка в рассуждении?

[Brukvalub]

Amigo писал(а):

Сделаем утверждение:
Cсуществуют ложные доказуемые утверждения

Принимая такую аксиому, Вы создадите внутренне противоречивую теорию, а такие теории в математике не применяются.

[Amigo]

Brukvalub писал(а):

Amigo писал(а):

Сделаем утверждение:
Cсуществуют ложные доказуемые утверждения

Принимая такую аксиому, Вы создадите внутренне противоречивую теорию, а такие теории в математике не применяются.

А как я могу её не принять? У меня что есть выбор? Если утверждение:
"Существуют ложные доказуемые утверждения " - истинно. То мы получаем противоречие.
Если ложно то же противоречие. Значит хоть истинно хоть ложно в любом случае противоречие. Или нет? Или Вы хотите сказать, что можно каким то образом вообще игнорировать определённые аксиомы для определённых теорий? То есть не принимать ни их ни их отрицание?

[Brukvalub]

Amigo писал(а):

То есть нельзя доказать, что существуют ложные доказуемые утверждения. Но если что то нельзя доказать, а это тем не менее утверждается то значит это аксиома.

Начнём с того, что утверждение "существуют ложные доказуемые утверждения" само внутренне противоречиво. Ведь Ваше определение истинного утверждения таково: истинны только аксиомы и все утверждения, получаемые из аксиом применением конечной последовательности правил вывода. Или я неправильно Вас понял? Далее, доказуемыми являются утверждения, получаемые из аксиом применением конечной последовательности правил вывода. Значит, всякое доказуемое утверждение является истинным. Будем, как обычно, считать, что непротиворечивой является такая теория, в которой не могут быть одновременно истинными какое-либо утверждение и его отрицание. В Вашей теории 1) Всякое доказуемое утверждение является истинным.
2)Истинным является и отрицание: существуют ложные доказуемые утверждения (Вы хотите принять такую аксиому).
Значит, Вы построили противоречивую теорию.
Вообще-то, без формализации понятия теории, языка теории, правил вывода и т.п. наш разговор получается несколько дилетантским. Метаматематика - весьма серьёзная и очень формальная штука. А в достаточно сложных логических системах всегда есть утверждения, проверить истинность которых средствами самой системы невозможно (знаменитая т. Гёделя, на которой построено счётное множество философских спекуляций).