Рациональная дробь

[bot]

(Оффтоп)

$c\in \mathbb R\Rightarrow c\in \mathbb Z$. А оно клиенту надо?

Cash в сообщении #828014 писал(а):

Возможно не стоит так усложнять задачу

[Fedya]

(Оффтоп)

Клиенту надо. Клиент думает, смотрит литературу. Но пока ни к чему не пришел. Хочеться и самому что-то сделать...

[Fedya]

Доброго времени суток!
Придумал такое решение.
Рассмотрим задачу для$c\in Z$
Прибавим к дроби $\frac{-{c}^{2}+26c-13}{{c}^{2}-2c+13}$ единицу.
Получим $\frac{24c}{{c}^{2}-2c+13}$.
Поскольку $(24c;{c}^{2}-2c+24)=1$, и $24c={2}^{3}\cdot3c$
то при $c\not\vdots 2$, $c\not\vdots 3$, $c\not=1$, $c\not=13$ числовые значения числителя и знаменателя являются взаимно простыми числами. Так как множество ${c|c \in Z, c\not\vdots 2, c\not\vdots 3, c\not=1, c\not=13}$ бесконечное, то и пар взаимно простых чисел бесконечно много.

Верно ли?

[mihailm]

Вот эта фраза "прибавим к дроби 1" она нехороша, раз.
А $c=5$ если подставить?

[provincialka]

Fedya в сообщении #830005 писал(а):

Поскольку $(24c;{c}^{2}-2c+24)=1$,

Вы, наверное, имели в виду $(24c;c^2-2c+13)=1$, что можно переписать также в виде $(24c;(c-1)^2+12)=1$. Может, так будет проще рассуждать.
И, прав mihailm, не обязательно прибавлять единицу. Вы алгоритм Евклида знаете?

[Fedya]

Ошибся... $c$ должно быть четным и при делении на три давать остаток два. К примеру
$c=6n+2$, где $n \in Z$, $n>1$

-- 24.02.2014, 01:07 --

provincialka

Знаю, уже понял, что не обязательно. Они то все равно будут взаимно простыми.

[provincialka]

А чем докажете? Подставьте, например, $n=4$. Получим $c=26$, дробь сократима.
Все-таки надо не гадать, а доказывать. Еще раз спрашиваю: знаете ли вы алгоритм Евклида нахождения НОД?

[Fedya]

Докажу тем, что дробь возможно сократить только на $2,3,4,6,8,12,24,c,2c,3c,4c,6c,8c,12c,24c.$
Но при четном $c$ знаменатель нечетный. Значит остается $3,c,3c$. Но при $c\equiv 2\pmod{3}$ знаменатель на 3 не делиться. Остается только $c$. Но при $c$ больше $13$ знаменатель не делиться на $c$


Алгоритм Эвклида знаю. Сейчас напишу!

-- 24.02.2014, 01:45 --

Последним не нулевым остатком будет константа, поэтому $(-{c}^{2}+26c-13;{c}^{2}-2c+13)=1$

[iifat]

Fedya в сообщении #830019 писал(а):

Докажу тем, что дробь возможно сократить только на ... $c$ ...

Не на $c$, а на любой его делитель. Так что не $c > 13$, а ...

[Fedya]

iifat в сообщении #830046 писал(а):

Fedya в сообщении #830019 писал(а):

Докажу тем, что дробь возможно сократить только на ... $c$ ...

Не на $c$, а на любой его делитель. Так что не $c > 13$, а ...

А если поставить условаие, что $c$ прсотое, тогда эта ошибка будет исправлена. А множесто значений $c$ все равно остается бесконечным. Или это слишком усложнил?

[provincialka]

Слишком усложнили. Но, в принципе, это тоже решение.

[Fedya]

Намекните, пожалуйста, как упростить

[provincialka]

Ну, не то, чтобы упростить. Скорее, сделать более стандартным. Нам ведь надо найти $d=(24c,c^2-2c+13)=(24c,(c-1)^2+12)$ (скобки обозначают НОД). Если $c-1$ не делится на 2 и 3, то и $d$ на него не делится. Тогда первое число можно сократить на 24. Получаем, что $d=(c,c^2-2c+13)=(c,13)$. Это понятно? Теперь достаточно потребовать, чтобы $c$ не делилось на 13, а $(c-1)$ не делилось на 2 и 3.

[Fedya]

provincialka

Понял. Спасибо!!!

Спасибо всем за помощь!!!