собственные вектора

[volchenok]

Здравствуйте, уважаемы участники форума. Я решаю граничную задачу на собственные значения для обыкновенного дифференциального уравнения методом конечных разностей. Собственные числа я нашел как корни соответствующего определителя. Как мне найти собственные вектора?

[Otta]

А определение у собственного вектора какое?

[volchenok]

Это такой х, что $Ax=\lambda x$

-- Чт фев 20, 2014 16:17:54 --

$A$ - матрица коєффициентов дискретной задачи

-- Чт фев 20, 2014 16:23:46 --

Просто если подставить собственное значение и исходить из определения для поиска собственного вектора, то ничего не получиться. В итоге я получу линейно зависимую систему, причем какое из уравнений выбрасывать неизвестно.

[svv]

Так уравнение же выбрасывается только тогда, когда в процессе Гаусса оно превратилось в $0x_1+...+0x_n=0$. И не раньше.

[volchenok]

Если нужно решать систему, то я врятли ее буду решать Гауссом. Она очень большая ($10000\times 10000$).

[svv]

Тогда вопрос ставится так: либо Ваш метод допускает решение систем с вырожденной матрицей ($A-\lambda E$), либо нет.

Ещё: для данного собственного значения может быть несколько линейно независимых собственных векторов, и Вам надо найти их все. Если метод всегда находит только одно решение, он не подходит.

[volchenok]

Метода как раз то у меня и нет. Я ж и прошу мне помочь как раз найти этот метод. Если я буду действовать из определения, то получу линейно зависимую систему из которой по-хорошему нужно удалять линейно зависимые вектора. Как их найти их 10000 уравнений я не знаю. Значит нужно искать другой метод. Вот его я и прошу помочь мне найти.

[svv]

Когда речь идет о таком большом числе уравнений и неизвестных, разработать метод, так, чтобы он был эффективным, устойчивым и т.д. — непростая задача. К счастью, их уже придумали за нас. (Хотя показать: возьмите вот этот метод вот здесь — я не смогу.) Вклиняться в существующий метод и вставлять туда отбрасывание лишних уравнений, если этого там нет — тоже явно не наша задача. В общем, ищите метод, про который говорится, что он может решать и такие системы.

Есть метод решения СЛАУ с помощью ортогональных преобразований. Исходная идея проста, но со всякими наворотами (абсолютно необходимыми для больших систем) программа становится совсем непростой. Но он, в том варианте, в котором я его видел, работает с переопределенными системами, но не с недоопределенными.

А обязательно что-то программировать, может, мат.пакеты решат?

[volchenok]

я работаю в Maple и он кроме тривиального (нулевого) вектора ничего не находит

[svv]

Это может означать, что собственное значение найдено неточно, и определитель не равен нулю. А может быть, уже в процессе решения накапливаются ошибки, и когда доходит до последнего уравнения, оно уже не является линейной комбинацией остальных.

Может быть, можно найти собственные значения и векторы с помощью предназначенной именно для этого функции?

[volchenok]

Да. Собственное значение ищется приближенно и определитель не равен в точности нулю - она равен величине порядка минус 20, что говорит о том что собственное значение найдено в общем то правильно (в рамках заданной точности).

[svv]

А как насчет использования специализированной функции?

[volchenok]

какой именно?

[svv]

Ну я ж не знаю, логично предположить, что в Maple для нахождения Eigenvektor'ов есть какие-то функции, и пользователю не надо писать программу на основе многократного решения СЛАУ.

[volchenok]

Оно найдет собственные функции матрицы, а не собственные функции оператора, которые мне нужны.