2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Число представлений
Сообщение20.10.2007, 06:27 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Пусть задано число $N=p_1^{\alpha_1}  \ldots  p_n^{\alpha_n}$. Что можно сказать о количестве различных представлений $N$ в виде произведения попарно неравных сомножителей? О количестве представлений в виде четного числа различных сомножителей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Число представлений
Сообщение20.10.2007, 08:24 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5711
Юстас писал(а):
Пусть задано число $N=p_1^{\alpha_1}  \ldots  p_n^{\alpha_n}$. Что можно сказать о количестве различных представлений $N$ в виде произведения попарно неравных сомножителей?

Определим функцию логарифма по основанию $(p_1,\dots,p_n)$:
$\ell(N)=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$
Определим также возведение вектора $x=(x_1,\dots,x_n)$ в векторную степень:
$x^{(\alpha_1,\dots,\alpha_n)} = x_1^{\alpha_1} \cdot\dots\cdot x_n^{\alpha_n}$.

Тогда количество различных (неупорядоченных) представлений $N$ в виде произведения попарно неравных сомножителей равно коэффициенту при $x^{\ell(N)}$ в
$$\prod_{d|N} (1 + x^{\ell(d)})$$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.10.2007, 09:10 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Но это просто ничего не дающая переформулировка задачи.
К сожалению условие "неравных сомножителей" делает эту функцию не мультипликативной. Поэтому, возможно не существует хорошей формулы для выражения этой величины.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.10.2007, 18:32 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5711
Вот еще производящая функция Дирихле:
$$\prod_{n=2}^{\infty} (1+\frac{1}{n^s})$$
и такая ссылка по теме: http://mathworld.wolfram.com/UnorderedF ... ation.html плюс последовательность A045778.

В качестве задачки предлагаю дать в явном виде выражение для количества таких представлений для $N=6^n$, $N=20^n$ и $N=30^n$ как функции от $n$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group