Теоремы для непрерывной функции и интегрирование

[devgen]

$f(x)$ положительная и непрерывная функция на $\mathbb{R}$ и $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$. Пусть$\alpha\in(0;1)$, а $[a;b]$ интервал наименьшей длины, такой что $\int_{a}^{b}f(x)dx=\alpha$. Докажите, что $f(a)=f(b)$.

С теоремой о среднем можно показать что для любого $\alpha\in(0;1)$, найдется нужный $[a;b]$, $\int_{a}^{b}f(x)dx=\alpha$. Утверждение похоже на теорему Ролля. Подскажите, в какую сторону смотреть. Спасибо.

[Otta]

devgen в сообщении #827978 писал(а):

Пусть$\alpha\in(0;1)$, а $[a;b]$ интервал наименьшей длины, такой что $\int_{a}^{b}f(x)dx=\alpha$.

Можно, например, воспользоваться тем, что интеграл по любому другому отрезку той же длины, что $[a,b]$, будет иметь меньшие значения. То есть $\int_{a}^{b}f(x)dx$ -- максимален среди всех с равным по длине промежутком интегрирования. Дальше просто, по идее.

[Oleg Zubelevich]

задача на условный экстремум

[Otta]

Шибко жирно тут условный экстремум, функции одной переменной хватит.

[Oleg Zubelevich]

еще не мешало бы доказать, что он существует этот интервал наименьшей длины (это для ТС)

[Otta]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #828278 писал(а):

(это для ТС)

... а поговорить?

[Felt]

Как она всё-таки решается?

У меня вышло грубое и некрасивое решение геометрическими методами

[Dan B-Yallay]

Felt в сообщении #828299 писал(а):

Как она всё-таки решается?
У меня вышло грубое и некрасивое решение геометрическими методами

Немного поясню идею доказательства Otta (как я ее понял). Это только грубый набросок, все технические детали расписать надо самостоятельно. Смотрите картинку.

Пусть интервал $[a,b]$ -наименьший, такой что $\displaystyle \int_a^bf(x)dx=\alpha$ и при этом $f(a) \ne f(b)$. Для определенности $f(a) < f(b)$. Тогда в силу непрерывности $f$ $\exists \Delta>0$ такое, что на интервалах $(a, a+\Delta)$ и $(b,b+\Delta)$ функция $f$ изменяется незначительно(насколько незначительно - разберитесь и выпишите условие сами).
Но тогда

$$S_1=\displaystyle\int\limits_a^{a+\Delta}f(dx) \quad < \quad \displaystyle\int\limits_b^{b+\Delta}f(dx)=S_2$$

А это означает $ \displaystyle\int_{a+\Delta}^{b+\Delta}f(x)dx>\alpha$ и существует (теорема о непрерывной ф-ции принимающей все значения на интервале)интервал длиной меньше $b-a$ с интегралом равным $\alpha$. Противоречие.

[RIP]

(спойлер)

А я понял так, что функция $F(t)=\int_{a+t}^{b+t}f(x)\,\mathrm{d}x$ имеет максимум в т. $t=0$. Уж прошу прощения за полное решение.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

RIP
Эммм... каким образом? (Если Ваш коммент относится к моему обьяснению)

[Otta]

Dan B-Yallay, RIP прав.
Я решение (которое подразумевалось мной) отправила Вам в ЛС, потому что мне кажется, что оно слишком просто для того, чтобы выкладывать его здесь, тем более, что делать это частично не получится. Если скажете, что оно не слишком простое и надо на форум, положу на форум, ... хотя, имхо, лишнее это.

[Felt]

Я рассуждал почти подобным образом, но рассматривал площади прямоугольных трапеций, которые добавляются или отнимаются от общей площади при сдвиге. Трапеции - если сдвигать на достаточно малую величину, то линию функцию на этом интервале можно заменить прямой, но потом понял, что это не совсем хороший способ доказательства, потому что для негладких в каждой точке функций приблизить не удастся

[Dan B-Yallay]

Felt
Я использовал интегралы вместо трапеций, чтобы быть точным и негладкость функций уже не имеет значения. Достаточно непрерывности.
Если Вас интересует более изящное решение, предложенное Otta, обратитесь к ней в личку.