Уравнение в ЧП или ЧП в уравнении?!

[DLL]

Есть страшненькое уравнения в частных производных. Неизвестная функция одна - $g(s,t)$. Страшно нелинейное, но с постоянными коэффициентами.

(Оффтоп)

$ \left( {\frac {\partial ^{3}}{\partial {s}^{3}}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) ^{2}{\frac {\partial }{\partial t}}g \left( s,t \right) -2\, \left( {\frac {\partial ^{3}}{\partial {s}^{2}\partial t}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {s}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}g \left( s,t \right) \right) {\frac {\partial }{\partial t}}g \left( s,t \right) \\ \mbox{}+2\, \left( {\frac {\partial ^{3}}{\partial {s}^{2}\partial t}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {s}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) {\frac {\partial }{\partial t}}g \left( s,t \right) + \left( {\frac {\partial ^{3}}{\partial {s}^{2}\partial t}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}g \left( s,t \right) \right) ^{2}{\frac {\partial }{\partial t}}g \left( s,t \right) \\ \mbox{}- \left( {\frac {\partial ^{3}}{\partial {s}^{2}\partial t}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) ^{2}{\frac {\partial }{\partial t}}g \left( s,t \right) + \left( {\frac {\partial ^{3}}{\partial s\partial {t}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {s}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) ^{2}{\frac {\partial }{\partial t}}g \left( s,t \right) \\ \mbox{}-2\, \left( {\frac {\partial ^{3}}{\partial s\partial {t}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {s}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) {\frac {\partial }{\partial t}}g \left( s,t \right) - \left( {\frac {\partial ^{3}}{\partial s\partial {t}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}g \left( s,t \right) \right) ^{2}{\frac {\partial }{\partial t}}g \left( s,t \right) \\ \mbox{}+2\, \left( {\frac {\partial ^{3}}{\partial s\partial {t}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) {\frac {\partial }{\partial t}}g \left( s,t \right) - \left( {\frac {\partial ^{3}}{\partial {t}^{3}}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {s}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) ^{2}{\frac {\partial }{\partial t}}g \left( s,t \right) \\ \mbox{}+2\, \left( {\frac {\partial ^{3}}{\partial {t}^{3}}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {s}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}g \left( s,t \right) \right) {\frac {\partial }{\partial t}}g \left( s,t \right) - \left( {\frac {\partial ^{3}}{\partial {t}^{3}}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}g \left( s,t \right) \right) ^{2}{\frac {\partial }{\partial t}}g \left( s,t \right) \\ \mbox{}- \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {s}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) ^{2} \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}g \left( s,t \right) \right) {\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}g \left( s,t \right) + \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {s}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) ^{2} \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) ^{2}\\ \mbox{}+ \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {s}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}g \left( s,t \right) \right) ^{3}+ \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {s}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}g \left( s,t \right) \right) ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}g \left( s,t \right) \\ \mbox{}-3\, \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {s}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) ^{2}+ \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {s}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) ^{3}\\ \mbox{}-2\, \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}g \left( s,t \right) \right) ^{4}+3\, \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}g \left( s,t \right) \right) ^{3}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}g \left( s,t \right) - \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}g \left( s,t \right) \right) ^{2} \left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) ^{2}=0\]} $

У него удалось угадать одно семейство решений, заданных формулой $g(s,t) = F(C_1 s + C_2 t)$, где $F$ - произвольная функция одной переменной, $C_1, C_2$ - произвольные константы. Для этого решения легко угадать два простеньких дифференциальных уравнения, которому оно удовлетворяет.
$\frac{\partial}{\partial t}(\frac{\partial g}{\partial t} : \frac{\partial g}{\partial s}) = 0$
$\frac{\partial}{\partial s}(\frac{\partial g}{\partial t} : \frac{\partial g}{\partial s}) = 0$

Далее, избавившись от знаменателей хотелось бы по получившимся дифференциальным полиномам как-нибудь факторизовать исходное уравнение. Буду рад любым идеям и соображениям на этот счет...

[svv]

Для поиска всяких закономерностей здесь больше подходит форма
+1 g_sss g_tt g_tt g_t
-2 g_sst g_ss g_st g_t
+2 g_sst g_ss g_tt g_t
+1 g_sst g_st g_st g_t
-1 g_sst g_tt g_tt g_t
+1 g_stt g_ss g_ss g_t
-2 g_stt g_ss g_tt g_t
-1 g_stt g_st g_st g_t
+2 g_stt g_st g_tt g_t
-1 g_ttt g_ss g_ss g_t
+2 g_ttt g_ss g_st g_t
-1 g_ttt g_st g_st g_t
-1 g_ss g_ss g_st g_tt
+1 g_ss g_ss g_tt g_tt
+1 g_ss g_st g_st g_st
+1 g_ss g_st g_st g_tt
-3 g_ss g_st g_tt g_tt
+1 g_ss g_tt g_tt g_tt
-2 g_st g_st g_st g_st
+3 g_st g_st g_st g_tt
-1 g_st g_st g_tt g_tt
В таких случаях лучше не писать $\left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}g \left( s,t \right) \right) ^{2}$ вместо $\left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}g \left( s,t \right) \right)\left( {\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}g \left( s,t \right) \right)$, упрощения это не дает.

Скажите, пожалуйста, почему только одно слагаемое (первое ) имеет $\frac {\partial ^{3}}{\partial {s}^{3}}$ ?

[DLL]

Спасибо, такое обозначение действительно очень удобное.

Это касается все той же задачи: topic81003.html
После сведения исходной задачи к задаче на $f, g$, нам необходимо разобраться с двумя чисто алгебраическими уравнениями, которые в новых терминах становятся дифференциальными.

То есть теперь мы имеем два нелинейных дифференциальных уравнения на $f$ и $g$. Чисто алгебраически (Differential Groebner Basis) удается свести задачу к эквивалентной, где в одном из уравнений имеется только $g(s,t)$ и производные. Вот это оно и есть.

По поводу уравнений: Вы правы, 2 уравнения утерялись. Хотя это и странно, потому что переносил в автоматическом режиме из Maple
+1 g_sss g_ts g_ts g_t
-2 g_sss g_ts g_tt g_t
+1 g_sss g_tt g_tt g_t
-2 g_sst g_ss g_st g_t
+2 g_sst g_ss g_tt g_t
+1 g_sst g_st g_st g_t
-1 g_sst g_tt g_tt g_t
+1 g_stt g_ss g_ss g_t
-2 g_stt g_ss g_tt g_t
-1 g_stt g_st g_st g_t
+2 g_stt g_st g_tt g_t
-1 g_ttt g_ss g_ss g_t
+2 g_ttt g_ss g_st g_t
-1 g_ttt g_st g_st g_t
-1 g_ss g_ss g_st g_tt
+1 g_ss g_ss g_tt g_tt
+1 g_ss g_st g_st g_st
+1 g_ss g_st g_st g_tt
-3 g_ss g_st g_tt g_tt
+1 g_ss g_tt g_tt g_tt
-2 g_st g_st g_st g_st
+3 g_st g_st g_st g_tt
-1 g_st g_st g_tt g_tt