Задача А.Эйнштейна о значении числа Пи.

[NikitaUshakov]

Задача была опубликована в журнале "Квант" (2013 №4).
Студент Вася, узнав о существовании эффектов общей теории относительности, решил оценить влияние человека, например Евклида, на результат проводимых им геометрических измерений. Вася предположил, что космонавт с именем Евклид, масса которого $M = 70 kg$, находясь в космосе вдали от Земли и других массивных тел, начертил специальным маркером для вакуума вокруг себя окружность радиусом $ R = 1 m$, а затем с помощью необычайно точных приборов измерил отношение длины окружности L к её диаметру D. В каком знаке после запятой полученный им экспериментальный результат отличается от теоретического значения числа Пи в Евклидовой геометрии (3,1415926535897932384626433832795...)? Гравитационная постоянная $ G = 6,67\cdot10^-11 H\cdot m^2 / kgг^2 $.

Пытаюсь решить предложенную задачу. Своих серьёзных соображений по поводу решения не имею, т.к. я пока что только ученик 9 класса, но очень заинтересовался задачей. Не знаю насколько правильно, но сам себе я представляю картину происходящего следующим образом: URL=http://hostingkartinok.com]
Комментарий: я считаю, что в таком случае длина окружности меняться не будет, а вот диаметр изменится, причем если следовать такой логике, то он должен увеличиться и как следствие Пи должно уменьшится. Т.о. задача сводится к нахождению зависимости длины дуги ОА от массы человека. Правильно ли утверждение о том, что получающаяся в результате искривления поверхность будет являться поверхностью Лобачевского и пригодятся ли в таком случае знания геометрии Лобачевского для решения проблемы?
Прошу посоветовать литературу, которая поможет разобраться в сути вопроса.
Заранее спасибо!

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

1. Уберите картинку, набрав текст задачи непосредственно в теме: замена текста картинкой допускается только для сложных таблиц, диаграмм и чертежей.

2. Приведите собственные содержательные попытки решения задачи.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

Дубль темы удален

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (Ф)»

[Munin]

NikitaUshakov в сообщении #826032 писал(а):

Комментарий: я считаю, что в таком случае длина окружности меняться не будет, а вот диаметр изменится

Изменится отношение длины окружности к диаметру. Теперь, если по условиям задан именно радиус окружности, то радиус (и диаметр) не изменится, а длина окружности изменится. Ведь можно провести разные окружности, используя разные заданные радиусы, не так ли?

NikitaUshakov в сообщении #826032 писал(а):

Правильно ли утверждение о том, что получающаяся в результате искривления поверхность будет являться поверхностью Лобачевского и пригодятся ли в таком случае знания геометрии Лобачевского для решения проблемы?

Нет, это будет другая поверхность. Это будет поверхность, называемая "решение Шварцшильда" (то же самое знаменитое, которое описывает чёрную дыру).

Дело в том, что неевклидовых геометрий очень много. Геометрия Лобачевского была первой открытой неевклидовой геометрией, но встречается она в математике не так часто, как другие неевклидовы геометрии. Кроме того, быстро оказалось, что существуют целые классы (множества) неевклидовых геометрий, и интересно стало изучать их именно целыми классами, а не отдельными представителями. Геометрия Лобачевского - одна из множества геометрий, называемых римановыми геометриями (на всякий случай, "геометрия Римана" означает другое, чем "риманова геометрия").

Вы, может быть, знаете, что геометрии Лобачевского могут быть заданы "радиусом кривизны плоскости Лобачевского", который может меняться от нуля до бесконечности, $R\in(0,+\infty).$ И если он устремится к бесконечности, $R\to+\infty,$ то геометрия Лобачевского превращается в геометрию Евклида. Аналогично, и сферическая геометрия может быть задана радиусом сферы, $R\in(0,+\infty),$ и в пределе $R\to+\infty$ сферическая геометрия превращается в геометрию Евклида.

Так вот, разные римановы геометрии отличаются друг от друга не числом, а целой функцией. Функция задана на всём пространстве, во всех точках. Если взять другую функцию, то получится другая геометрия. Образно это можно представить себе так: можно вообразить искривлённую поверхность, с холмами, долинами, хребтами, речными поймами и тому подобным, и описать её функцией высоты $h(x,y).$ Тогда, задавая каждый раз другую функцию, мы получим другую искривлённую поверхность, и другую геометрию на этой поверхности. Можно придумать и другие образы (например, отражение в кривом зеркале, заданном функцией, или заданное в пространстве распределение показателя преломления, или температуры, и т. п.). Правда, стандартно используемая в римановой геометрии функция - метрика, или метрический тензор - немножко другая, чем эти образы.

В общем, этого вам сейчас достаточно, наверное.

Если углубляться, то риманова геометрия - это геометрия пространства, а в общей теории относительности требуется описать геометрию пространства-времени - для этого используется псевдориманова геометрия. Но этот нюанс пока незначителен. Можно считать, что пространственная часть нашей геометрии - это риманова геометрия.

NikitaUshakov в сообщении #826032 писал(а):

Прошу посоветовать литературу, которая поможет разобраться в сути вопроса.

Для 9 класса, боюсь, мало что можно посоветовать: нужна большая предварительная подготовка. Но может быть, вам поможет такая книга:
Тейлор, Уилер. Физика пространства-времени.
Она по большей части посвящена специальной теории относительности, но в конце затрагивает и общую. А полноценные учебники по ОТО я не решусь вам рекомендовать.

[Xey]

Стоит ли по утрам проверять теорему Пифагора, вдруг за ночь незаметно приблизилась черная дыра?

(как близко далжна быть дыра с массой около солнечной , чтобы на листе бумаги метр на метр гипотенуза на милиметр отличалась от суммы квадратов катетов?)

[Munin]

Спугнули всё-таки школьника...

[mishafromusa]

Предположим, что вокруг Евклида по круговой орбите летает очень маленький робот, и своей очень маленькой линейкой измеряет длину орбиты, а Евклид смотрит на него. Что увидит Евклид?

[Munin]

Очень маленького робота :-)

[green5]

Задача вроде на размерность (перевести ньютоны в СИ): G*T^2*70kg/1m^3
G = m*m*m/kg*s*s
Куда только секунды девать :)

[Munin]

green5
А что такое у вас $T^2$?

[green5]

Характерное время

[Munin]

Характерное время чего?

[mishafromusa]

Munin в сообщении #826933 писал(а):

Очень маленького робота

Да, но линейка-то будет укорочена лоренцевым сокращением... Нет ли здесь намёка на решение задачи?

[Munin]

Скорее всего, нет.
Я бы посмотрел, чего там в Кванте написано, но номера 4 нету нигде в интернете. Есть номера 3 и 5-6 :-)

[mishafromusa]

Придётся самим думать