Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега

[ewert]

g______d в сообщении #826154 писал(а):

Мне казалось, что классически это как раз и есть аппроксимация простыми функциями (разве что не равномерная).

А в каком смысле аппроксимация?... Да и чересчур уж сложно это для определения. Нет, по определению -- это именно предел интегральных сумм по соответствующим "вертикальным" разбиениям.

[g______d]

ewert в сообщении #826155 писал(а):

Нет, по определению -- это именно предел интегральных сумм по соответствующим "вертикальным" разбиениям.

По определению Лебега – нет.

wikipedia писал(а):

Lebesgue invented a new method of integration to solve this problem. Instead of using the areas of rectangles, which put the focus on the domain of the function, Lebesgue looked at the codomain of the function for his fundamental unit of area. Lebesgue's idea was to first define measure, for both sets and functions on those sets. He then proceeded to build the integral for what he called simple functions; measurable functions that take only finitely many values. Then he defined it for more complicated functions as the least upper bound of all the integrals of simple functions smaller than the function in question.

Ну т. е. идея была, конечно, через разбиение области значений для вещественнозначных функций, но формальное определение строилось именно через простые функции. По-моему, кстати говоря, есть довольно много учебников, в которых оно тоже вводится через простые функции.

Проблемы с разбиением области значений возникают, когда нужно интегрировать функции со значениями, например, в банаховых пространствах. Нельзя так просто взять и разбить банахово пространство, даже если там есть конус положительных функций (которого более-менее достаточно для определения интеграла через простые функции).

[ex-math]

g______d
Большое спасибо за ссылку.
Все-таки можно определить интеграл Римана через разбиение области значений.
А то, что требуется равномерная сходимость последовательности простых функций, видимо, обусловлено как раз недостатками меры Жордана. Так что первична все-таки мера, а не способ разбиения.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #826137 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #826136 писал(а):

а можно подробнее?

Ну, прообразы-то тут по Жордану измеримы, конечно.

А вот как раз и нет! Посмотрите повнимательнее на эти прообразы.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #826194 писал(а):

А вот как раз и нет! Посмотрите повнимательнее на эти прообразы.

У $\sin(1/x)$ измеримы, конечно. Куда они денутся? Любое множество, граница которого имеет меру Лебега нуль, измеримо по Жордану. А у этих прообразов границы вообще не более чем счетны.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #826154 писал(а):

Мне было интересно, существует ли конструкция, объединяющая оба интеграла и отличающаяся только заменой меры Лебега на меру Жордана.

Есть интеграл Курцвейля — Хенстока, который является довольно прямолинейным обобщением интеграла Римана, и оказывается обобщением как интеграла Римана, так и интеграла Лебега. http://en.wikipedia.org/wiki/Henstock%E ... l_integral
Конечно если в подходе Лебега (с прообразами интервалов) заменить меру Лебега на меру Жордана, то ничего путного не выйдет. Можно, однако, попытаться приблизить прообразы множествами, измеримыми по Жордану. Возможно эта идея и побудила Лебега на создание его меры.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #826215 писал(а):

Есть интеграл Курцвейля — Хенстока, который является довольно прямолинейным обобщением интеграла Римана,

Спасибо, про это я читал.

mishafromusa в сообщении #826215 писал(а):

и оказывается обобщением как интеграла Римана, так и интеграла Лебега.

Не в том смысле. Меня интересовало определение, в котором можно менять меру и получать в точности соответствующий интеграл, т. е. с ровно тем же классом интегрируемых функций; а не максимально возможное расширение класса интегрируемых функций.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #826195 писал(а):

Любое множество, граница которого имеет меру Лебега нуль, измеримо по Жордану.

Хорошо, уговорил.

[ex-math]

Вспомнил, где я это слышал. Титчмарш, "Теория функций"

Цитата:

Для начинающего наиболее очевидным различием является, пожалуй, то, что в определении Лебега подразделяется не интервал интегрирования, а интервал изменения функции. Однако в действительности это не так уж важно. Существенно то, что мы пользуемся общей теорией меры вместо более ограниченной теории протяженности. Можно было бы построить интеграл из характеристических функций, пользуясь не мерой, а протяженностью, и по существу это было бы эквивалентно определению Римана. С другой стороны, можно определить интеграл, эквивалентный интегралу Лебега, путем надлежащего подразделения интервала интегрирования.

Видимо, он как раз имел в виду работу, ссылку на которую дали выше. Надо отдать честь добросовестности тогдашних математиков, стремившихся прояснить даже такие детали, кажущиеся нам мелкими и незначительными.

[ewert]

ex-math в сообщении #826447 писал(а):

Цитата:

С другой стороны, можно определить интеграл, эквивалентный интегралу Лебега, путем надлежащего подразделения интервала интегрирования.

А вот нельзя. Если заменить меру Жордана на Лебега, но сохранить при этом конструкцию Римана -- ничего особенно хорошего не получится. Уж точно не получится интеграла Лебега.

[g______d]

ewert в сообщении #826513 писал(а):

Если заменить меру Жордана на Лебега, но сохранить при этом конструкцию Римана -- ничего особенно хорошего не получится. Уж точно не получится интеграла Лебега.

Да почему же? Если точно так же определить верхние и нижние суммы Дарбу для разбиений на измеримые по Лебегу множества, то интеграл Лебега будет существовать (для ограниченной функции) ровно тогда, когда $\inf$ верхних сумм Дарбу будет совпадать с $\sup$ нижних, и будет равен их общему значению.

-- 14.02.2014, 22:26 --

Тот факт, что функция может сильно осциллировать на множествах сколь угодно малой меры, не мешает, потому что такие разбиения будет просто невыгодно брать.

[ewert]

g______d в сообщении #826537 писал(а):

, не мешает, потому что такие разбиения будет просто невыгодно брать.

Мешает. Что значит "выгодно-невыгодно"? Мы обязаны предусматривать все разбиения, которые допустимы. В т.ч. (согласно схеме Римана) и разбиения на просто отрезки.

-- Пт фев 14, 2014 22:37:52 --

g______d в сообщении #826537 писал(а):

Если точно так же определить верхние и нижние суммы Дарбу для разбиений на измеримые по Лебегу множества,

Да, а суммы Дарбу в схеме Лебега и вовсе не нужны. Но она -- и не схема Римана ни разу.

[g______d]

ewert в сообщении #826542 писал(а):

Мешает. Что значит "выгодно-невыгодно"? Мы обязаны предусматривать все разбиения, которые допустимы. В т.ч. (согласно схеме Римана) и разбиения на просто отрезки.

Для плохого разбиения значение верхней суммы Дарбу будет слишком большое, а нижней – слишком маленькое. Поэтому при взятии соответственно $\inf$ и $\sup$ по всем разбиениям они не дадут вклада в ответ.

[ewert]

g______d в сообщении #826557 писал(а):

Для плохого разбиения

Какого такого "плохого"-то?... Невкусного, что ли?... Что вообще есть интеграл по Риману?...

[g______d]

ewert в сообщении #826586 писал(а):

Какого такого "плохого"-то?... Невкусного, что ли?... Что вообще есть интеграл по Риману?...

Общее значение $\sup$ нижних и $\inf$ верхних сумм Дарбу по всем допустимым разбиениям в случае, если они совпадают.

Утверждение (для ограниченных функций на конечном интервале):

1) Если допустимыми считаются разбиения на интервалы или на измеримые по Жордану множества, то получится интеграл Римана.

2) Если допустимыми считаются разбиения на измеримые по Лебегу множества, то получится интеграл Лебега.