Задача по линейной алгебре

[BENEDIKT]

Задача относится к параграфу "Линейная модель обмена".
Линейная модель обмена приведена в учебнике в качестве модели экономического процесса, приводящего к понятиям собственного вектора и собственного значения матрицы. Модель выглядит так.

Пусть имеется n стран $S_1, S_2,..., S_n$, национальный доход каждой из которых равен соответственно $x_1, x_2,..., x_n$
Обозначим $a_{ij}$ долю национального дохода, которую страна $S_j$ тратит на покупку товаров страны $S_i$. Считая, что национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, имеем структурную матрицу торговли:
$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} \qquad$
Её элементы - это доли национального дохода, который $j$-я страна тратит на покупку товаров $i$-й страны. Столбцы представлены затратами $j$-й страны, а строки - доходами $i$-й страны от торговли (все эти доходы и составляют нац. доход).
Для сбалансированности торговли необходима её безубыточность для каждой страны и, следовательно, равенство выручки от торговли национальному доходу (как доходу от торговли с другими странами и внутри страны).
Соответственно, имеет место равенство:
$Ax=x$,
где $A$ - структурная матрица торговли;
$x=(x_1, x_2,..., x_n)$ - вектор национальных доходов стран.
Здесь собственное значение $\lambda$ матрицы $A$ равен $1$. Соответственно:
$(A-E)x=0$
Далее решается система уравнений и определяется вектор национальных доходов.

С этим всё ясно. Но, к своему стыду, я не могу выполнить свою простенькую задачу. Задача:

Необходимо найти соотношение цен трёх товаров, если наборы этих товаров $x_1=(6;2;4), x_2=(1;8;9), x_3=(3;5;9)$ имеют одинаковую стоимость.

Сразу ясно, что наборы товаров образуют строки матрицы (назовём её "матрицей товаров"). Умножив на эту матрицу вектор цен, получаем вектор стоимостей товарных наборов:
$Xy$,
где $X$ - матрица товаров,
$y$ - вектор цен.
Далее непонятно. Задача связана понятием собственного вектора и собственного значения матрицы. Собственный вектор матрицы $A$, как сказано в учебнике, это вектор, для которого найдётся такое число $\lambda$, именуемое собственным значением матрицы, что
$Ax=\lambda x$
Почему $\lambda$ в прошлой задаче равен $1$, ясно. $Ax=x$, т. к. матрица $A$ состоит из долей.
В данной задаче вектор стоимостей $X y$ коллинеарен $y$, т. к. стоимость - это цена, умноженная на количество и здесь матрица "количеств" умножается на вектор цен. Значит, и собственное значение $\lambda$ у матрицы $X$ имеется. Но не ясно, каким оно должно быть. В данном случае равенство $Xy=y$, как я понимаю, не может выполняться, т. к. матрица $X$ состоит не из долей $y_i$ и стоимости наборов товаров не могут быть равны ценам товаров.

[BENEDIKT]

Забыл добавить: все координаты вектора стоимостей равны, т. к. при векторе цен $x$ стоимость всех товарных наборов одинакова. Т. е. имеет место равенство:
$Xy=\lambda y$,
где $\lambda y=(\lambda y_1, \lambda y_2, \lambda y_3)$ и $\lambda y_1=\lambda y_2=\lambda y_3$

Попытался подобрать $\lambda$, решая уравнение:
$(X-\lambda E)y=0$
$det (X-\lambda E)=0$,
но ничего не получилось. Точнее, не получается целых значений $\lambda$, а именно они и были бы "запланированы" автором учебника, как это обычно делается.

(Оффтоп)

Кстати, в школьной программе ведь не даётся кубических уравнений? Приходится использовать онлайн-калькулятор.

Кроме того, задача аналогична той, что решается при использовании линейной модели обмена. И собственное значение $\lambda$ для данного вектора, как я понимаю, должно быть единственным.

[iifat]

BENEDIKT в сообщении #826118 писал(а):

С этим всё ясно.

Чрезвычайно за вас рад.

BENEDIKT в сообщении #826118 писал(а):

Но, к своему стыду, я не могу выполнить свою простенькую задачу. Необходимо найти соотношение цен трёх товаров, если наборы этих товаров $x_1=(6;2;4), x_2=(1;8;9), x_3=(3;5;9)$ имеют одинаковую стоимость.

При всём старании не могу увидеть связи. К чему был весь предыдущий текст? Какое отношение к задаче имеет последующий? На кой вам собственные вектора? Формулировка задачи предполагает решение двух простеньких линейных уравнений с тремя неизвестными. Чего вы тут накрутили?

[BENEDIKT]

iifat в сообщении #826127 писал(а):

На кой вам собственные вектора?

Таков, как я понял, замысел автора учебника.

Цитата:

К чему был весь предыдущий текст?

Просто привёл аналогичную модель. По замыслу того же автора учебника, обе модели приводят к понятиям собственного значения и собственного вектора матрицы.

Цитата:

Формулировка задачи предполагает решение двух простеньких линейных уравнений с тремя неизвестными.

Простите за глупый вопрос, но к чему приравнять уравнения системы т. е. чему равны свободные члены?

$$ \begin{cases} 6 y_1 + 2 y_2+4y_3\\ y_1 + 8 y_2+ 9y_3\\ 3 y_1 + 5 y_2+ 9y_3 \end{cases} $$

Пока лишь понятно, что свободные члены равны стоимостям наборов товаров и все вместе равны между собой...

[iifat]

BENEDIKT в сообщении #826206 писал(а):

Просто привёл аналогичную модель

Интересные какие у вас понятия об аналогиях.

BENEDIKT в сообщении #826206 писал(а):

Простите за глупый вопрос, но к чему приравнять уравнения системы

Я вас удивлю: $x_4$. Как вариант. Более простой вариант — друг другу. И таки да, в обоих вариантах собственные числа/векторы не просматриваются даже под электронным микроскопом.

[ewert]

BENEDIKT в сообщении #826206 писал(а):

Простите за глупый вопрос, но к чему приравнять уравнения системы т. е. чему равны свободные члены?

Если уж приравнивать, то к чему угодно -- лишь бы к одному и тому же. Например, к единице.

[BENEDIKT]

iifat, ewert
Благодарю за помощь. Приравняв, решил, но с собственным значением пока не разобрался.

iifat в сообщении #826273 писал(а):

И таки да, в обоих вариантах собственные числа/векторы не просматриваются даже под электронным микроскопом.

Вынужден свалить всё на автора учебника. Для того, что бы показать применение собственных векторов на простом примере, для первого случая он указал следующее:
Поскольку $Ax=x$, то можно считать, что $Ax=\lambda x$, где $\lambda=1$
Далее $x$ определяется, как собственный вектор, соответствующий собственному значению $\lambda=1$
Для второго случая, насколько я понимаю, "запланировано" нечто аналогичное, но непонятно, чему равно $\lambda$.

[iifat]

Да, с собственным значением не разобрались.
Нету, нету никакой аналогии!

BENEDIKT в сообщении #826292 писал(а):

Поскольку $Ax=x$, то можно считать, что $Ax=\lambda x$, где $\lambda=1$

Фактически!

BENEDIKT в сообщении #826292 писал(а):

Для второго случая, насколько я понимаю, "запланировано" нечто аналогичное, но непонятно, чему равно $\lambda$

А вот тут вы понимаете в корне неправильно. Вы ж уже решили, дык чего вы пытаетесь сунуть сюда ещё и собственные числа?

[BENEDIKT]

iifat в сообщении #826340 писал(а):

Вы ж уже решили, дык чего вы пытаетесь сунуть сюда ещё и собственные числа?

Вы правы. Сбил с толку факт, что задание находится в том же параграфе. Но это параграф "Линейная модель обмена", а не "Собственные векторы и собственные значения матрицы".
Насколько я понимаю, при неравных друг другу $y_1, y_2, y_3$ нет такого ненулевого $\lambda$, при котором $\lambda y_1=\lambda y_2=\lambda y_3$? Тогда и собственного значения $\lambda$ при заданном условии равенства стоимости наборов товаров не может быть.