Последовательность, след. член равен сумме цифр предыдущего

[SS20]

Дана последовательность, где первый член $3^{100}$, каждый следующий равен сумме цифр предыдущего. Найти десятый член последовательности.

[V.V.]

SS20 писал(а):

Дана последовательность, где первый член 3^100 (три в степени сто), каждый следующий равен сумме цифр предыдущего. Найти десятый член последовательности.

Покажите, что десятый член последовательности будет однозначным числом. А потом догадайтесь, какое оно может быть.

[SS20]

Ответ 6?

[Cube]

У меня 9 получилось на втором шаге уже. Но я считал на калькуляторе А как определить без прямого вычисления 3^100 ?

P.S. ну вот ещё соображения (мои) из которых, правда, девятку не видать.
|lg(3^{100})|=47
то есть, их сумма не превзойдет 48*9 = 432

[V.V.]

Cube писал(а):

У меня 9 получилось на втором шаге уже. Но я считал на калькуляторе А как определить без прямого вычисления 3^100 ?

План писал выше. Но могу и более развернуто.

Заметим, что 3^100=81^25<10^50. Т.е. в числе заведомо не больше 51 цифры. Следовательно, сумма его цифр не больше 51*9=459.

Из чисел, не превосходящих 459 самую большую сумму цифр имеет число 399. Его сумма цифр равна 21.

Из чисел, не превосходящих 21, самая большая сумма цифр (10) у числа 19.

Таким образом, сделав три шага мы заведомо получим цифру.

Теперь вспомним признак делимости на 9.
(Число делится на 9 <=> сумма цифр делится на 9.)

Исходное число на 9 делилось. Значит, и полученное тоже будет делится.
Отсюда получаем ответ.

[Cube]

V.V. писал(а):

...
Исходное число на 9 делилось. Значит, и полученное тоже будет делится.
Отсюда получаем ответ.

точно ! как же я сразу не заметил