Метрика специальной теории относительности

[aklimets]

VladTK в сообщении #825147 писал(а):

aklimets в сообщении #824917 писал(а):

...Но как только длина волны фотона станет равна планковской длине, он сколлапсирует в черную дыру...

А откуда Вы это взяли? Может такой фотон как сколлапсирует так и расколлапсирует?

Так как квантовая теория гравитации еще не создана, можно привести только качественные рассуждения. Ниже я их приведу.
Пусть мы с помощью какого-то генератора продуцируем фотоны с различной энергией. Вопрос в том, можно ли увеличивать энергию фотонов до бесконечности? Проанализируем эту ситуацию. Согласно общей теории относительности, любая форма энергии, в том числе энергия безмассовых фотонов, обязана генерировать гравитационное поле. И чем больше энергия фотона, тем более мощное гравитационное поле им должно генеририроваться. Известно, что фотон обладает кинетической энергией $E_{kin}=P\,c$, где $P$ - импульс фотона, а $c$ - его скорость. Эта энергия является положительной величиной. Гравитационное же поле фотона связано с его потенциальной энергией, как и гравитационное поле любого массивного объекта и она является величиной отрицательной. Обычно потенциальная энергия фотона просто игнорируется. Найдем, чему она равна. Будем действовать по аналогии с потенциальной энергией массивных частиц. Для однородного массивного шара радиусом $R$ его собственная гравитационная энергия находится из уравнения тяготения Ньютона и имеет вид $E_{pot}\approx - G\,M^2/R$, где $G$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса шара, $R$ - его радиус. Но у фотона массы нет. Для фотона в это уравнение вместо массы $M$ нужно подставить величину импульса фотона, деленного на скорость света, то есть $P/c$. Тогда собственная гравитационная энергия фотона примет следующий вид:

$$E_{pot}\approx - G\,P^2/c^2R$$

где $R$ необходимо сопоставить с длиной волны фотона $\lambda$. Полная же энергия фотона равна сумме кинетической и потенциальной энергий и имеет следующий вид

$$E=E_{kin}+E_{pot}\approx P\,c-\frac{G\,P^2}{c^2\,\lambda}=P\,c\left (1-\frac{G\,P}{c^3\,\lambda}\right )\,\,\,\,\,\,(1)$$

(здесь не учтен спин фотона, но это не существенно).

Как теперь приближенно рассмотреть это уравнение для полной энергии фотона с точки зрения квантовой теории ? Чтобы использовать это уравнение в квантовой теории, будем рассматривать величины $P$ и $\lambda$, входящие в него, с помощью соотношения неопределенностей Гейзенберга как неопределенности импульса и координаты. Согласно соотношению неопределенностей, эти величины связаны друг с другом. Положим, что $P\,\lambda=\hbar$, где $\hbar$ - постоянная Дирака. Используя это соотношение (подстановкой $P=\hbar/\lambda$), найдем из последнего уравнения функцию $E(\lambda)$

$$E(\lambda)=\frac{\hbar c}{\lambda}\left (1-\frac{\ell^2_P}{\lambda^2}\right )\,\,\,\,\,\,(2)$$

где $\ell_{P}=\sqrt{\hbar\,G /c^3}$ - фундаментальная планковская длина, которая появляется здесь автоматически.

Если на основании этого уравнения построить график функции $E(\lambda)$, то мы видим, что по мере уменьшения длины волны фотона $\lambda$ (или увеличения его импульса) его энергия растет, как и должно быть (так как второе слагаемое в последнем уравнении при малом импульсе фотона практически равно нулю). Максимальная полная энергия $E$, которую сможет достичь фотон, оказывается примерно равной планковской энергии, при этом длина волны фотона $\lambda$ будет почти сопоставима с планковской длиной. Однако, если импульс фотона и далее увеличивать (т.е. делать короче его длину волны $\lambda$ ), то его полная энергия начнет уменьшаться за счет увеличения отрицательной гравитационной составляющей полной энергии фотона (второго слагаемого), которая до этого момента не играла существенной роли. При длине волны фотона $\lambda$ равной планковской длине $\ell_P=10^{-33}$см его полная энергия становится равной нулю (первое и второе слагаемые сравниваются), фотон коллапсирует и превращается в микроскопическую планковскую черную дыру. Таким образом, когда электромагнитное излучение приобретает планковскую энергию (то есть его длина волны $\lambda$ становится равной планковской длине $\ell_P$), электромагнитное излучение коллапсирует. Поэтому использовать его в качестве инструментария для "прощупывания" ультрамалых расстояний уже не представляется возможным. Мы достигли предела.

Если рассуждать более строго, нужно исходить из уравнения Гамильтона - Якоби для центрально-симметричного гравитационного поля $g^{ik}\partial^2S/\partial x^i\partial x^k=M^2\,c^2$ с метрическими коэффициентами $g^{ik}$, взятыми из решения Шварцшильда, где $S$ - действие. Для вышеуказанного приближения нужно положить в этом уравнении массу и момент импульса равными нулю и воспользоваться соотношениями неопределенностей Гейзенберга. Получим уравнения (1) и (2) для полной энергии фотона.
Хочу добавить, чтобы было более понятно. Выражения в скобках уравнений (1) и (2) не что иное как метрический коэффициент $g_{00}$ в решении Шварцшильда.

[SergeyGubanov]

aklimets в сообщении #825186 писал(а):

VladTK в сообщении #825147 писал(а):

А откуда Вы это взяли? Может такой фотон как сколлапсирует так и расколлапсирует?

...Если рассуждать более строго, нужно исходить из уравнения Гамильтона-Якоби

Уравнение Гамильтона-Якоби тут не при чём. Для ответа на вопрос о существовании (или не существовании) ограничения на максимальную плотность энергии электромагнитной волны надо решить совместно систему уравнений Эйнштейна-Максвелла. Предварительно не плохо было бы ещё понять какие граничные и начальные условия нужно задать чтоб решение интерпретировать именно как локализованную электромагнитную волну (волновой пакет) в асимптотически плоском пространстве, а не как космологическую электро-гравитационную задачку когда вся Вселенная сжимается или расжимается.

Ограничение на максимальную плотность энергии электромагнитной волны может быть, а может и не быть. Без решения уравнений априори не скажешь.

[aklimets]

SergeyGubanov в сообщении #825212 писал(а):

ограничения на максимальную плотность энергии электромагнитной волны

Вообще-то речь идет об одном фотоне, если можно так выразиться. При чем тут плотность волны.

[VladimirKalitvianski]

aklimets в сообщении #825231 писал(а):

Вообще-то речь идет об одном фотоне, если можно так выразиться. При чем тут плотность волны.

Если в одной системе отсчета фотон низкоэнергетический, то в другой - высоко энергетической. Он не может быть черной дырой.

[VladTK]

aklimets в сообщении #825186 писал(а):

Так как квантовая теория гравитации еще не создана, можно привести только качественные рассуждения...

То-то и оно что квантовой гравитации не создано. Т.е. неизвестны даже общие принципы построения такой теории. А Вы уже делаете какие-то "качественные рассуждения".

aklimets в сообщении #825186 писал(а):

...Положим, что $P\,\lambda=\hbar$, где $\hbar$ - постоянная Дирака...

У Вас виртуальный фотон?

aklimets в сообщении #825186 писал(а):

...При длине волны фотона $\lambda$ равной планковской длине $\ell_P=10^{-33}$см его полная энергия становится равной нулю (первое и второе слагаемые сравниваются), фотон коллапсирует и превращается в микроскопическую планковскую черную дыру...

Не понял логику. Ну "полная энергия" (точнее величина которую Вы назначили полной энергией) зануляется при некоторой длине волны фотона. Ну и что? Как отсюда следует необходимость коллапса фотона?

SergeyGubanov в сообщении #825212 писал(а):

...Для ответа на вопрос о существовании (или не существовании) ограничения на максимальную плотность энергии электромагнитной волны надо решить совместно систему уравнений Эйнштейна-Максвелла...

Неее. Система уравнений Эйнштейна-Максвелла - это классическая модель. А речь идет о фотоне планковской энергии. Т.е. когда квантово-гравитационные эффекты (к таковым, например, насколько мне известно относят сильные флуктуации кривизны пространства-времени) играют определяющую роль. Такую систему без разработанной теории квантовой гравитации пытаться описать классическими понятиями бесполезное дело. По сути игра в кости.

[aklimets]

VladimirKalitvianski в сообщении #825233 писал(а):

Если в одной системе отсчета фотон низкоэнергетический, то в другой - высоко энергетической. Он не может быть черной дырой.

Уравнение для полной энергии фотона следует из уравнения Гамильтона-Якоби $g^{ik}\partial^2 S/\partial x^i\partial x^k=M^2c^2$. Оно является общековариантным. Причем тут система отсчета. Для фотона оно будет иметь вид $g^{ik}\partial^2 S/\partial x^i\partial x^k=0$. Коэффициенты $g^{ik}$ нужно взять из решения Шварцшильда. Если не учитывать спин фотона, то момент импульса в этом уравнении положите равным нулю. Можете проверить. Могу расписать, если непонятно.

-- Вт фев 11, 2014 11:17:17 --

VladTK в сообщении #825235 писал(а):

Не понял логику. Ну "полная энергия" (точнее величина которую Вы назначили полной энергией) зануляется при некоторой длине волны фотона. Ну и что? Как отсюда следует необходимость коллапса фотона?

Но я же специально указал вам, что выражение в скобках (1) и (2) не что иное, как коэффициент $g_{00}$ из решения Шварцшильда. Эти выражения в скобках есть просто другая запись выражения $g_{00}= 1-r_g/r$. По моему, это всем ясно. Распишите уравнение Гамильтона-Якоби и вы в этом сами убедитесь.

[aklimets]

Для ясности раскрою уравнение Гамильтона-Якоби $g^{ik}\partial^2S/\partial x^i\partial x^k=M^2c^2$ (см. Ландау, Лифшиц, Теория поля, 2003, пар.101). Так как масса покоя фотона равна нулю, оно будет иметь вид $g^{ik}\partial^2S/\partial x^i\partial x^k=0$. С метрическим тензором из решения Шварцшильда это уравнение принимает вид

$$\left (1-\frac{r_g}{r}\right )^{-1}\left (\frac{\partial S}{cdt}\right )^{2}-\left (1-\frac{r_g}{r}\right )\left (\frac{\partial S}{dr}\right )^{2}-\left (\frac{1}{r^2}\right )\left (\frac{\partial S}{d\varphi}\right )^{2}=0$$

или

$$E^2=\left (1-\frac{r_g}{r}\right )^2P^{2}c^2+\left (1-\frac{r_g}{r}\right )\frac{N^2c^2}{r^2}$$

где $P$ - импульс фотона; $N$ - момент импульса;

Если не принимать во внимание момент импульса $N$, то это уравнение примет вид

$$E=\left (1-\frac{r_g}{r}\right )Pc$$

где $r_g=2GM/c^2$; Но так мы в самом начале условились вместо гравитирующей массы $M$ подставить величину $P/c$, то аналог для фотона имеет вид $r_g=2G\,P/c^3$. Поэтому

$$E=\left (1-\frac{2G\,P}{c^3r}\right ) \,P\,c\approx\left (1-\frac{G\,P}{c^3\lambda}\right ) \,P\,c$$

что совпадает с уравнением $(1)$ для полной энергии фотона (смотри выше).
Если же учесть момент импульса (спин фотона), то появится еще второй внутренний горизонт событий в планковской черной дыре. Но это уже детали.

[VladimirKalitvianski]

aklimets в сообщении #825238 писал(а):

Уравнение для полной энергии фотона следует из уравнения Гамильтона-Якоби

А я думал, из формулы Планка $E=h\nu$.

[aklimets]

VladimirKalitvianski в сообщении #825280 писал(а):

А я думал, из формулы Планка $E=h\nu$.

Полная энергия фотона состоит из кинетической и потенциальной энергии. Как вы это учитываете в этой формуле?

[VladimirKalitvianski]

aklimets в сообщении #825285 писал(а):

Полная энергия фотона состоит из кинетической и потенциальной энергии. Как вы это учитываете в этой формуле?

Просто: потенциальная энергия свободного фотона равна нулю.

[aklimets]

VladimirKalitvianski в сообщении #825291 писал(а):

Просто: потенциальная энергия свободного фотона равна нулю.

Ошибаетесь. Свободный фотон обладает энергией. Согласно ОТО, любая форма энергии гравитирует, следовательно и свободный фотон имеет потенциальную гравитационную (отрицательную) энергию. Ну я же об этом говорил несколькими постами выше. Что, по новой все начинать? Читайте внимательнее.
Другое дело, что эта энергия слишком мала, чтобы ее принимать во внимание, что до сих пор с успехом и делают.

[VladimirKalitvianski]

aklimets в сообщении #825293 писал(а):

Читайте внимательнее.

Читаю название темы - СТО, не ОТО. Перехожу в системы отсчета, где частота фотона крайне мала. Куда он гравитирует? Сам в себя? Нет такого в реальном мире реальных фотонов. Летят себе, горя не знают.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

aklimets в сообщении #825285 писал(а):

Полная энергия фотона состоит из кинетической и потенциальной энергии.

Ещё забыли внутреннюю и ядерную.

aklimets в сообщении #825293 писал(а):

Согласно ОТО, любая форма энергии гравитирует, следовательно и свободный фотон имеет потенциальную гравитационную энергию.

Хорошее слово "следовательно". Следовательно следовательно.

[aklimets]

VladimirKalitvianski в сообщении #825298 писал(а):

Читаю название темы - СТО, не ОТО.

Ну, меня спросили про коллапс фотона, я и ответил, причем здесь название темы.

[VladimirKalitvianski]

aklimets в сообщении #825300 писал(а):

Ну, меня спросили про коллапс фотона, я и ответил, причем здесь название темы.

Послушайте, Вы используете коллапс (взято из ОТО) и соотношение неопределенности (взято из КМ), как предлог для модификации метрики СТО. Я Вас уверяю, что флуктуации есть и на гораздо больших масштабах, чем планковские, для того и придуманы всякие там квантовые теории поля, вместо метрики СТО. Считайте, что метрика СТО "модифицируется" на всех расстояниях и коллапс здесь не при чем.