распределение комбинации элементов выборки

[--mS--]

В критерии хи-квадрат вектор $(n_1,\ldots,n_k)$ из количеств элементов, попавших в интервалы, действительно имеет полиномиальное распределение. И для любого вектора фиксированной длины с таким распределением при фиксированных вероятностях предельное распределение у величины $\sum_1^k\frac{(n_i-np_i)^2}{np_i}$ как раз хи-квадрат с $k-1$ степенью свободы, разумеется. Этот факт легко следует из многомерной центральной предельной теоремы. Не совсем так, как у нормального, т.к. у полиномиального вектора вырожденная матрица ковариаций (поскольку сумма его компонент равна константе $n$), и полиномиальный вектор приходится прежде поворачивать, чтобы получить вектор на единицу меньшей размерности с невырожденной матрицей ковариаций, и константу в роли последней компоненты. А вот уже для вектора размерности $k-1$ применимо то, что Вы пишете - предел $(X-\mathsf EX)S^{-1}(X-\mathsf EX)$ как раз хи-квадрат.

[AndreyL]

Да, действительно! У меня получилось, что для $k$-мерного вектора, подчиняющегося мультиномиальному распределению с вероятностями $p_i$ и суммой компонентов $n$ компоненты вектора средних равны $n\,p_i$, а определитель ковариационной матрицы равен $n^k\prod _{i=1}^k p_i \left( 1-\sum_{i=1}^k p_i\right)$, т.е выражение в скобках равно нулю по определению мультиномиального распределения.

Но вернемся к функции распределения. Если я правильно понимаю, что для получения функции распределения $F(Y)$ нужно $m$ раз проинтегрировать плотность. Самый внутренний интеграл будет по $x_m$ в пределах $x_{m-1}<x_m<\frac{Y-\sum_{i=1}^{m-1}a_i x_i}{a_m}$. Остальные интегралы для $x_i$ в пределах $x_{i-1}<x_i<Y$. И внешний интеграл для $x_1$ в пределах $-\infty<x_1<Y$. Или как-то не так?

[--mS--]

Разумеется, нет. Начинать надо со значений внешней переменной, а уж какие они - зависит от коэффициентов. Вот, например, область $x+2y+5z<2$, $x<y<z$: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... +x%3Cy%3Cz приводит к системе

$$x<\frac14, \ \ x<y<\frac{2-x}{7}, \ \ y<z<\frac15 (-x-2 y+2).$$

Так что как в общей ситуации интегрировать по такой малоприятной области, дело хозяйское .

[AndreyL]

Попробовал в общем виде для $m=3$ - вариантов штук тридцать. Действительно, все зависит от коэффициентов. Ваш пример, переписанный в варианте $x+2y+5z<Y$, $x<y<z$, дает результат

$$x<\frac{Y}{8},\,x<y<\frac{Y-x}{7},\,y<z<\frac{1}{5} (-x-2 y+Y)$$

т.е. в принципе способ нахождения пределов интегрирования имеется. Буду пробовать.