обобщенные функции

[Oleg Zubelevich]

Имеются две последовательности $x_k\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$ и $x'_k\in\mathcal{D}'(\mathbb{R})$. Известно, что последовательности сходятся $x_k\to x$ и $x'_k\to x'$ слабо и *-слабо соответственно.
Доказать, что $(x_k',x_k)\to (x',x)$

[Red_Herring]

Пусть $\phi_m$--основные функции и $u_n$--обобщенные. Поскольку $\phi_m$ сходятся, то их носители содержатся в некотором компакте $K$ и в дальнейшем мы рассматриваем только основные функции с носителями в $K$. Пространство таких функций $\mathcal{D}(K)$ счетно-нормировано, потому метризуемо и к тому же полно, и к нему применима теорема Бэра о категориях. Последовательность $u_n$ ограничена на каждой $\phi\in \mathcal{D}(K)$ и применяя теорему Бэра о категориях легко показать что существует $N$ т.ч. $|u_n(\phi)|\le C \|\phi\|_{C^N} \quad \forall \phi\in \mathcal{D}(K)$.

Остаток до-ва тривиален.

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #824397 писал(а):

Поскольку $\phi_m$ сходятся

в условии сказано слабо сходится

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #824437 писал(а):

Red_Herring в сообщении #824397 писал(а):

Поскольку $\phi_m$ сходятся

в условии сказано слабо сходится

Мне неизвестно понятие "слабо сходящиеся основные функции" и тому есть причина. Если это понимать как $u(\phi_n)\to u(\phi)$ для любой обобщенной функции, то мы получаем определение эквивалентное обычной сходимости.

Действительно, рассмотрим сначала $u$ с носителем в компакте и только из $H^{-N}$. Тогда с помощью той же теоремы Бэра легко показать что $|u(\phi_n)|\le C\| u\|_{H^{-N}}$ для всех таких $u$ и потому $\|\phi_n)\|_{H^{N}(K)}\le C_{K,N}$ (для всех $N$). Используя компактность вложения ${H^{N+1}(K)}$ в ${H^{N}(K)}$ легко показать что $\|\phi_n-\phi\|_{H^N(K)} \to 0$.

Предположим теперь что $\phi_n$ не имеют общего компактного носителя. Тогда (переходя если надо к подпоследовательностям) мы найдем что существует последовательность точек $x_n\in \mathbb{R}^d$ т.ч. $|x_n|=r_n$ и $\phi_n(x)$ имеет носитель в шаре $B(0,2r_n)$, и $\phi_n(x_n)\ne 0$, и $r_{n+1}\ge 4 r_n$. Тогда легко убедиться что подбирая $c_n$ (достаточно большие но надо выбирать знаки) можно построить $u=\sum_n c_n\delta (x-x_n)$ т.ч. $u(\phi_n) \to +\infty $.

[Oleg Zubelevich]

понял Вашу мысль. Мой вариант покороче, но это не суть.

Red_Herring в сообщении #824499 писал(а):

Мне неизвестно понятие "слабо сходящиеся основные функции" и тому есть причина.

Тогда давайте слабую сходимость последовательностей обобщенных функций тоже отменим, ведь она тоже влечет сильную сходимость


Кстати, если в условии задачи заменить последовательности на направленности, то утверждение останется верным, но данное доказательство уже не проходит: из слабой сходимости направленности, конечно, не следует ее сильная сходимость, иначе пространство было бы конечномерным.

upd выделенное курсивом может оказаться враньем, это я погорячился

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #824553 писал(а):

понял Вашу мысль. Мой вариант покороче, но это не суть.

Red_Herring в сообщении #824499 писал(а):

Мне неизвестно понятие "слабо сходящиеся основные функции" и тому есть причина.

Тогда давайте слабую сходимость последовательностей обобщенных функций тоже отменим, ведь она тоже влечет сильную сходимость

Кстати, если в условии задачи заменить последовательности на направленности, то утверждение останется верным, но данное доказательство уже не проходит: из слабой сходимости направленности, конечно, не следует ее сильная сходимость, иначе пространство было бы конечномерным.

В применении к $\mathcal{D}'$ я не встречал такого термина. Просто "сходящаяся последовательность". За исключением специалистов по ЛВП никто не рассматривает топологию на ЛВП не являющихся счетно-нормированными, в т.ч. $\mathcal{D}$ или $\mathcal{D}'$. В т.ч. все "нормальные" аналисты избегают фильтров, направленностей, бочечных пространств и прочих извращений, как черт ладана.

[Oleg Zubelevich]

а очень интересные темы бывают именно среди этих "извращений" topic62610.html

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #824568 писал(а):

а очень интересные темы бывают именно среди этих "извращений" topic62610.html

Ну да: некоторые сходимости не порождаются никакой топологией, некоторые порождаются несколькими. Мой вывод (личный, для себя): в таких случаях черт с ней, с топологией, она либо неестественна, либо противоестественна