Задача на целостность числа

[LebedKun]

Цитата:

Но вопросов осталось ещё немало. Какое из чисел будет нецелым при $x=k+\sqrt2$, где $k$ - целое число? Верно ли, что остальные три будут целыми?

Пусть $x=k+\sqrt2$, тогда:

1) $x+\frac {1}{x}=\frac{x^2+1}{x}=\frac{(k+\sqrt2)^2+1}{k+\sqrt2}=\frac{k^2+2k\sqrt2+2+1}{k+\sqrt2}=\frac{k^2+2k\sqrt2+3}{k+\sqrt2}$

Чтобы данное число являлось целым, надо сократить дробь на $k+\sqrt2$, что невозможно, т.к. условие $k^2+3=2$ не будет выполняться при любом вещественном $k$.

2) $x-\frac {1}{x}=\frac{x^2-1}{x}=\frac{(k+\sqrt2)^2-1}{k+\sqrt2}=\frac{k^2+2k\sqrt2+2-1}{k+\sqrt2}=\frac{k^2+2k\sqrt2+1}{k+\sqrt2}$

Чтобы данное число являлось целым, надо также сократить дробь на $k+\sqrt2$, а такое возможно при $k^2+1=2$, значит $k$ должно быть равным либо $1$, либо $-1$. И число $x-\frac{1}{x}$ будет являться целым при $k=1$ и $k=-1$.

3) $x^2+2\sqrt2=(k+\sqrt2)^2+2\sqrt2=k^2+2k\sqrt2+2+2\sqrt2$

Чтобы данное число являлось целым, должно выполняться условие $2k\sqrt2+2\sqrt2=0$, и условие будет выполняться при $k=-1$.

4) $x-\sqrt2=(k+\sqrt2)-\sqrt2=k$.

Данное число будет являться целым при любом целом $k$.


Из п.1,2,3,4 следует, что только одно число ($x+\frac{1}{x}$) не будет являться целым при $k=-1$.

-- 08.02.2014, 15:33 --

Значит только при $x=\sqrt2-1$ только одно число не будет являться целым.

-- 08.02.2014, 15:39 --

Тему можно закрывать. Я разобрался. Спасибо всем, кто мне помог :)