Задача на целостность числа

[LebedKun]

Даны четыре числа: $x+\frac {1} {x}$, $x-\frac {1} {x}$, $x^2+2\sqrt{2}$, $x-\sqrt{2}$. Найти все такие $x$, при которых ровно одно число не является целым.

Моё решение:

1) Рассмотрим число $x-\sqrt{2}$:

Пусть $\sqrt{2}=1+q$ (т.к. $1<\sqrt{2}<4$), где $q$ - дробная часть числа $\sqrt{2}$, тогда $x-\sqrt{2}=x-(1+q)=x-1-q$. Чтобы число стало целым, надо избавиться от дробной части числа $\sqrt{2}$, тогда должно выполняться условие $x-q=0$, откуда $x=q$, следовательно $x=\sqrt{2}-1$. Значит число $x-\sqrt{2}$ может быть целым только при $x=\sqrt{2}-1$

2) Рассмотрим число $x^2+2\sqrt{2}$:

Пусть $\sqrt{2}=1+q$, тогда $x^2+2\sqrt{2}=x^2+2(1+q)=x^2+2+2q$. Аналогично, как и в первом пункте решения, рассмотрим условие $x^2+2q=0$:

$x^2+2q=0$
$x^2=-2q$
$x_{1,2}=\pm\sqrt{-2q}$
$x_{1,2}\in\emptyset$

Значит, ни при каком $x$, число $x^2+2\sqrt{2}$ не будет целым.

3) Рассмотрим число $x-\frac {1} {x}$:

$x-\frac {1} {x}=\frac{x^2}{x}-\frac{1}{x}=\frac{x^2-1}{x}$, $x^2-1$ при делении на $x$ даёт в остатке $1$ при $x\neq1$, $x\neq -1$ и $x\neq 0$, значит число $x-\frac {1} {x}$ может быть целым только при $x=1$ и $x=-1$.

Аналогично и для числа $x+\frac {1} {x}$.

4) $\sqrt{2}-1\neq -1$ и $\sqrt{2}-1\neq 1$, следовательно ни при каком $x$ ровно одно число не является целым.


Есть ли ошибки в моих рассуждениях?

З.Ы. Эта задача с пройденной олимпиады, так что её обсуждать уже можно.

[ИСН]

LebedKun в сообщении #823764 писал(а):

Значит число $x-\sqrt{2}$ может быть целым только при $x=\sqrt{2}-1$

Каким (целым или нецелым) является число $x-\sqrt2$ при $x=25+\sqrt2$?

[iifat]

LebedKun в сообщении #823764 писал(а):

должно выполняться условие $x-q=0$

Загадочно дело сие и тёмно. А кроме нуля целых чисел вы не знаете?

[LebedKun]

iifat, дело в том, что надо избавиться от дробной части числа $\sqrt{2}$. А чтобы избавиться, надо "уничтожить" либо само такое число, либо его дробную часть.

[ИСН]

ИСН в сообщении #823767 писал(а):

Каким (целым или нецелым) является число $x-\sqrt2$ при $x=25+\sqrt2$?

[provincialka]

О! Знакомая задача, из последней олимпиады. А ведь разбор был, в том числе по интернету.
В п. 2 почему $x^2+2q$ равно 0, а не другому целому числу?
В п. 3 вы говорите об остатках от деления, хотя ниоткуда не следует, что $x$ - целое.

Возьмите все-таки $x=\sqrt2-1$ и найдите все эти числа.

[ИСН]

Каким.

[LebedKun]

Цитата:

Каким (целым или нецелым) является число $x-\sqrt2$ при $x=25+\sqrt2$?

Целым.

Но ещё факт в том, что число $x^2+2\sqrt{2}$ ни при каких $x$ не будет являться целым (ибо для того, чтобы избавиться от $2\sqrt{2}$, нужно, чтобы число являлось суммой некоторого целого числа и $-2\sqrt{2}$, а квадрат числа никогда не бывает отрицательным (в вещественных числах)).

Числа $x+\frac{1}{x}$ и $x-\frac{1}{x}$ будут целыми только при $x=1$ и $x=-1$.

И в таком случае, надо, чтобы либо числа $x+\frac{1}{x}$ и $x-\frac{1}{x}$ являлись целыми, и $x=1$ или $x=-1$, либо число $x-\sqrt{2}$ являлось целым, и $x=k+\sqrt{2}$, где $k$ - любое целое число. Такое в принципе невозможно, значит таких $x$ не существует, при которых только одно число являлось бы целым.

[ИСН]

Ага. Спасибо. Сейчас, секундочку, я сформулирую следующий вопрос.

-- менее минуты назад --

LebedKun в сообщении #823779 писал(а):

Но ещё факт в том, что число $x^2+2\sqrt{2}$ ни при каких $x$ не будет являться целым

Каким (целым или нецелым) будет являться число $x^2+2\sqrt2$ при $x=\sqrt{25-2\sqrt2}$?

[provincialka]

LebedKun, а вы мое предложение заметили:

provincialka в сообщении #823775 писал(а):

Возьмите все-таки $x=\sqrt2-1$ и найдите все эти числа.

А также "проведите" его по всем вашим рассуждениям.

(Оффтоп)

Я ведь проверяла эту олимпиаду и решала задание тогда же.

[LebedKun]

Цитата:

Каким (целым или нецелым) будет являться число $x^2+2\sqrt2$ при $x=\sqrt{25-2\sqrt2}$?

$x^2=(\sqrt{25-2\sqrt2})^2=\sqrt{25^2-2\cdot25\cdot2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{25^2-100\sqrt{2}+8}$

Нецелое число.

[ИСН]

(Оффтоп)

provincialka, ну оставьте же вкусное на десерт, ну. Человеку ещё знаете сколько открытий чудных? Вот и давайте их как-то... по одному.

О как?

-- менее минуты назад --

А скажите... можно ли как-то упростить выражение $(\sqrt a)^2$?

[LebedKun]

Цитата:

Возьмите все-таки $x=\sqrt2-1$ и найдите все эти числа.

Если $x=\sqrt2-1$, то:

1) $x-\sqrt2=(\sqrt2-1)-\sqrt2=-1$
2) $x^2+2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2+2\sqrt2=2-2\sqrt2+1+2\sqrt2=3$
3) $x+\frac{1}{x}=\sqrt2-1+\frac{1}{\sqrt2-1}=\frac{2-2\sqrt2+1}{\sqrt2-1}+\frac{1}{\sqrt2-1}=\frac{2-2\sqrt2+1+1}{\sqrt2-1}=\frac{4-2\sqrt2}{\sqrt2-1}=\frac{-2(\sqrt2-2)}{\sqrt2-1}$
4) $x-\frac{1}{x}=\sqrt2-1-\frac{1}{\sqrt2-1}=\frac{2-2\sqrt2+1}{\sqrt2-1}-\frac{1}{\sqrt2-1}=\frac{2-2\sqrt2+1-1}{\sqrt2-1}=\frac{2-2\sqrt2}{\sqrt2-1}=\frac{-2(\sqrt2-1)}{\sqrt2-1}=-2$

Спасибо Вам большое :)

Получается только одно число не будет являться целым при $x=k+\sqrt{2}$, где $k$ - целое число.

-- 07.02.2014, 17:45 --

ИСН в сообщении #823786 писал(а):

(Оффтоп)

provincialka, ну оставьте же вкусное на десерт, ну. Человеку ещё знаете сколько открытий чудных? Вот и давайте их как-то... по одному.

О как?

-- менее минуты назад --

А скажите... можно ли как-то упростить выражение $(\sqrt a)^2$?

Можно. $(\sqrt{a})^2=|a|$. И ещё есть такое свойство: $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$

-- 07.02.2014, 17:46 --

(Оффтоп)

Цитата:

Я ведь проверяла эту олимпиаду и решала задание тогда же.

Не из Оренбурга ли Вы часом? :)

[ИСН]

Дорога ложка к обеду, they say. Этот мой вопрос уже неактуален, в свете того, что Вы сначала ответили на другой (не мой), более продвинутый.

-- менее минуты назад --

Но вопросов осталось ещё немало. Какое из чисел будет нецелым при $x=k+\sqrt2$, где $k$ - целое число? Верно ли, что остальные три будут целыми?

[provincialka]

ИСН, видите, открытия еще далеко не исчерпались!

-- 07.02.2014, 20:24 --

(Оффтоп)

LebedKun в сообщении #823790 писал(а):

Не из Оренбурга ли Вы часом? :)

Не часом, а двумя. Позже. См. под аватаркой