Как задать уравнением правильный многоугольник в дек-х к-х?

[vld]

Здравствуйте!
Нигде и никогда не видел статей в которых говорилось про то как задать уравнением(не системой) правильный многоугольник в декартовых координатах. А все таки интересно как же оно выглядит. Ребят, может кто-то из вас это знает? Расскажите пожалуйста.

[ИСН]

А какая принципиальная разница между уравнением и системой?

[Sender]

Ну вот, к примеру, уравнение квадрата: $|x|+|y|=1$.
Шестиугольник: $|x+1|+|x-1|+\frac{2|y|}{\sqrt{3}}=4$.

[vld]

Спасибо, Sender. Но хотелось бы общую формулу получить.

[Aritaborian]

Sender, с квадратом всё ясно, но как строится формула шестиугольника? Что-то я никак не пойму...

[Kitonum]

В полярных координатах уравнение правильного n-угольника можно записать так:

$r=\frac{R\cos(\frac{\pi}{n})}{\cos(|(\frac{{\varphi}n}{2\pi}-[\frac{{\varphi}n}{2\pi}])\cdot\frac{2\pi}{n}-\frac{\pi}{n}|)}$,

где $r$ - полярный радиус, $\varphi$ - полярный угол, $R$ - радиус описанной окружности, квадратные скобки в знаменателе означают целую часть числа.

[ИСН]

Не надо в полярных. И не надо целую часть. Можно же как сказал Sender.

[Aritaborian]

ИСН в сообщении #823534 писал(а):

Можно же как сказал Sender.

Sender не раскрыл загадку.

[ИСН]

Да всё он раскрыл. Подумаешь, загадка. Вы видели когда-нибудь график функции $|x-1|+|x+1|$?

-- менее минуты назад --

Забыл уточнить: трёхмерный график. (Это функция от x и y.)

[Kitonum]

ИСН в сообщении #823534 писал(а):

Не надо в полярных. И не надо целую часть. Можно же как сказал Sender.

А чем не нравятся полярные координаты? Всё таки явное уравнение. На мой взгляд с ним работать удобнее, чем с неявным в декартовых. Например, построить график.
Построение графика правильного семиугольника в Maple:

n:=7:
plot(cos(Pi/n)/cos(abs(frac(phi/(2*Pi/n))*2*Pi/n-Pi/n)), phi=0..2*Pi, coords=polar, thickness=2, scaling=constrained, numpoints=5000);

[ИСН]

Тем, что вопрос был про декартовы. А так-то к Вашему уравнению претензий нет.

[TOTAL]

Так годится?

$$\prod_{i=1}^{i=n}\left( \sqrt{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2} + \sqrt{(x-x_{i+1})^2 + (y-y_{i+1})^2} - \sqrt{(x_i-x_{i+1})^2 + (y_i-y_{i+1})^2}\right) = 0$$

[ИСН]

Да тут куча вариантов, как я погляжу.

-- менее минуты назад --

Вместо третьего корня можно же сразу подставить константу.

[TOTAL]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #823728 писал(а):

Вместо третьего корня можно же сразу подставить константу.

Так мы же не стали мараться и задали произвольный многоугольник с известными координатами вершин.

[vld]

TOTAL, да ты вообще красавчик!) Взял точку на стороне многоугольника, сложил расстояния от нее до ближайших вершин и отнял длину стороны, т.к. очевидно что нуль получается. И так получилось N похожих уравнений с правой частью равной нулю, и перемножил их! Все правильно сделал, претензий нет)

-- 07.02.2014, 21:47 --

Да и тем более этим уравнением можно задать любой многоугольник в $\mathbb{R}^2$ , хоть правильный, хоть неправильный.