Сколько весит сифон?

[nikvic]

Цитата:

$h-l$ это высота между уровнями в сосудах, во-всяком случае у Вас так нарисовано

Заметили ли Вы, что рисунок исправлен (писал!), и $h$ обозначает разность уровней?

[svv]

nikvic в сообщении #821947 писал(а):

Непонятно, откуда тройка и зачем модуль.

Зачем модуль — я не знаю.
А тройку так можно получить. Если бы вода в трубе не текла (например, какой-то краник в сифоне перекрыт), показание динамометра было бы $\rho S g (2l+h)$, это вес воды в надводной части сифона.
А если вода ещё и течет, показания уменьшаются на $2\rho S v^2$ (импульс, передаваемый водой трубе за единицу времени). Далее сюда подставляется $v^2=2gh$.

[nikvic]

svv в сообщении #822020 писал(а):

А если вода ещё и течет, показания уменьшаются на $2\rho S v^2$ (импульс, передаваемый водой трубе за единицу времени). Далее сюда подставляется $v^2=2gh$.

Как только краник открывается, давление изменяется.
Вы не за тем следите. Вода в трубе (удобно - выше верхнего уровня) меняет свой импульс с известной скоростью под действием тяжести, трубы и водой в трубе ниже этого сечения.

[Oleg Zubelevich]

nikvic в сообщении #822013 писал(а):

аметили ли Вы, что рисунок исправлен (писал!), и $h$ обозначает разность уровней?

я с учетом этого написал ответ

[svv]

(Оффтоп)

Продолжение этого.
Вычисляя интегралы по поперечным сечениям (назовем их $B$ и $C$), получим:
$F=mg-\rho v_B^2 S_B-\rho v_C^2 S_C-p_B S_B-p_C S_C$
Здесь $m$ — масса воды между сечениями.
Берем оба сечения на высоте верхнего уровня. Тогда
$mg=\rho g S\cdot 2l$
$v_B^2=v_C^2=v^2=2gh$
$p_B=p_C=-\frac{\rho v^2}2=-\rho g h$ (относительно атмосферного).
Подставляя в формулу для $F$, получаем:
$F=\rho g S \cdot 2(l-h)$

nikvic писал(а):

Как только краник открывается, давление изменяется.

Ну, мне же надо было как-то тройку объяснить.

[m_sb]

У меня что-то уравнения Бернулли не применяется.
Выберем 4 сечения в трубке тока.
Первое сечение - поверхность воды в верхнем стакане за вычетом сечения трубки. Скорость в этом сечении равна нулю, поскольку площадь сечения много больше площади сечения трубки. Давление в этом сечении $p_0$.
Второе сечение - сечение трубки на уровне поверхности в верхнем стакане. Скорость в сечении $v$, давление $p_1$.
Третье сечение - сечение трубки на уровне поверхности в нижнем стакане. Скорость в сечении $v$ -неизменна в силу уравнения непрерывности для второго и третьего сечений. Давление в сечении - $p_2$.
Применяем уравнение Бернулли.
Для первого и второго сечений:
$p_0=p_1+\rho v^2/2$.
Для второго и третьего сечений:
$p_1+\rho v^2/2=p_2-\rho g(h-l)+\rho v^2/2$.
Если добавить четвертое сечение - поверхность воды в нижнем стакане за вычетом сечения трубки, то
для третьего и четвертого сечений (они находятся на одной высоте):
$p_2+\rho v^2/2=p_0$.
Ерунда получается.

[nikvic]

m_sb в сообщении #822211 писал(а):

Для второго и третьего сечений:
$p_1+\rho v^2/2=p_2-\rho g(h-l)+\rho v^2/2$.

$p_1+\rho v^2/2=p_2-\rho gh+\rho v^2/2$.

По разности высот.

Давайте зафиксируем, что
$p_1=p_2$
$\rho v^2/2=\rho gh$
$p_1+\rho v^2/2=p_0$

Ясно, что от $p_0$ ответ не зависит (лишь бы поток не рвался), математически удобнее считать его равным нулю, тогда в сечениях 2 и 3 давление отрицательно:
$p = -\rho v^2/2$

[lucien]

Хочу довести до логического конца свой способ -- через метод виртуальных перемещений.

Пусть сифон сделан из телескопических трубок (так что длины трубок можно менять). Закрепим концы сифона относительно сосудов и совершим малое удлинение сифона на $dz$. Совершенная при этом работа $dA=Fdz$. После удлинения скорость жидкости в сифоне по-прежнему будет $v=\sqrt{2gh}$. Останется неизменным также и стационарное поле скоростей в сосудах. По ЗСЭ совершенная работа пошла на изменение полной энергии в системе: $dA=dW$. Изменение энергии в сифоне найти легко

$$ dE_1=2\rho glSdz+2\rho Sdz\frac{v^2}{2}=2\rho Sg(l+h)dz. $$

Однако, нужно еще учесть то, что во время удлинения сифона скорость вытекания воды будет меньше, а значит сосуд недополучит энергию (аналогичный эффект -- остывание газа при аддиабатическом расширении). Пусть $u\ll v$ -- скорость удлинения колен сифона. Тогда втекающая в правый сосуд жидкость будет иметь скорость $v'=v-2u$. За время удлинения $\tau$ правый сосуд получит энергию

$$ dE_2'=\frac{(v-2u)^2}{2}\,\rho Sv\tau\quad\mbox{вместо}\quad dE_2=\frac{\rho v^2}{2}\,Sv\tau. $$

Поэтому, недополученная энергия

$$ \delta E_2=dE_2'-dE_2=-2\rho v^2Su\tau=-4\rho ghdz. $$

Итого, полное изменение энергии

$$ dW=dE_1+\delta E_2=2\rho Sg(l-h)dz=Fdz\quad\Rightarrow\quad F=2\rho Sg(l-h). $$

[m_sb]

nikvic в сообщении #822249 писал(а):

$p_1+\rho v^2/2=p_2-\rho gh+\rho v^2/2$.

По разности высот.

Давайте зафиксируем, что
$p_1=p_2$

Для второго и третьего сечений давления никак не могут быть равны. Трубка тока - сифон с постоянной площадью сечения, скорости в сечениях одинаковы в силу уравнения непрерывности, сечения находятся на разной высоте. Так что $p_1\not=p_2$. Сдается мне, что поток в стаканах не ламинарный.

[nikvic]

m_sb в сообщении #822410 писал(а):

Для второго и третьего сечений давления никак не могут быть равны.

Действительно, "по прочтении сжёг" - мне-то интересно сечение в нисходящей части на уровне верхнего уровня

-- Пн фев 03, 2014 19:37:31 --

lucien в сообщении #822388 писал(а):

Хочу довести до логического конца свой способ -- через метод виртуальных перемещений.

Как-то странно использование кинетической энергии в методе, описывающем равновесие механических систем.

[lucien]

Да чего тут странного, это же просто ЗСЭ.

[nikvic]

Ладно, может быть, пойму. Тем более, что у меня тот же ответ.
===========
Возьмём кусок воды, первоначально ограниченный снизу верхним сечением. При скорости $V$ его импульс меняется (вниз) с известной скоростью $2\rho Sv^2$.
На него действуют вниз давление чуть ниже, $-p$, земля, $2 \rho gl$ и трубка, $P$.
Итого $2\rho Sv^2=2pS + 2 \rho glS +P

-- Пн фев 03, 2014 21:13:21 --

Уф, кажется, набрал удачно.
Далее, вместо $p$ имеем $\rho v^2/2$, a вместо $v^2$ подставляем $2gh$.

[nikvic]

Не могу не упомянуть о "штучке". Внизу восходящей трубы изображена насадка, не соприкасающаяся с трубой. Она, по идее, должна обеспечивать "плавность" потока.
Дело в том, что "по Бернулли" жидкость затекает в "просто трубу" нетривиально: площадь сечения втекающей струи = 1/2 сечения трубы.
Доказывается рассмотрением водяного реактивного двигателя. тяга может быть вычислена двумя способами, через импульс и давление.