Какие выпуклые фигуры могут содержать прямую?

[Ktina]

а) Найти все выпуклые фигуры в $\mathbb{R}^2$, содержащие прямую.

б) И доказать, что других нет.

[patzer2097]

Ktina в сообщении #823239 писал(а):

а) Найти все выпуклые фигуры в $\mathbb{R}^2$, содержащие прямую.

(1) $\mathbb{R}^2$, (2) прямая, (3) полуплоскость, (4) полоса между двумя прямыми.

(некоторые подробности)

В случаях (3) и (4) я подразумеваю, что наша фигура пересекается с любом компонентой связности границы по прямой или лучу, или отрезку, или интервалу, или точке, или пустому множеству.

Ktina в сообщении #823239 писал(а):

б) И доказать, что других нет.

Если прямая $y=0$ и точка с $y$-координатой $a>0$ принадлежат выпуклой фигуре, то в силу выпуклости все точки с $y$-координатой из $(0,a)$ тоже ей принадлежат.

(некоторые подробности)

Осталось разобраться с границами, но и там все легко.

[svv]

patzer2097 в сообщении #823242 писал(а):

Если прямая $y=0$ и точка с $y$-координатой $a>0$ принадлежат выпуклой фигуре, то в силу выпуклости все точки с $y$-координатой из $(0,a)$ тоже ей принадлежат.

Я тоже так сначала подумал, точь-в-точь. И, боюсь, это неверно.
Возьмите полосу, открытую с одной стороны (т.е. ей принадлежат точки с $0\leqslant y<a$). Теперь объедините её с произвольным связным множеством на прямой $y=a$ (отрезок, луч, ...). Можно объединить даже с одной точкой $(x_0, a)$. У Вас получится выпуклая область.

-- Чт фев 06, 2014 01:14:07 --

А, прошу прощения, Вы и не утверждаете то, что я думал, что Вы утверждаете.

[Ktina]

patzer2097
svv
Благодарю!

[patzer2097]

svv в сообщении #823246 писал(а):

Возьмите полосу, открытую с одной стороны (т.е. ей принадлежат точки с $0\leqslant y<a$). Теперь объедините её с произвольным связным множеством на прямой $y=a$ (отрезок, луч, ...). Можно объединить даже с одной точкой $(x_0, a)$. У Вас получится выпуклая область.

так я и об этом написал

patzer2097 в сообщении #823242 писал(а):

В случаях (3) и (4) я подразумеваю, что наша фигура пересекается с любом компонентой связности границы по прямой или лучу, или отрезку, или интервалу, или точке, или пустому множеству.