Difficult and beautiful - /Open problem/

[TOTAL]

Что тут кажется неверным?
$\beta + \varphi + \alpha \leq \pi$
$\beta + \varphi \leq \pi - \alpha$
$\sin(\beta + \varphi) \geq \sin(\pi - \alpha)=\sin(\alpha)$

[ins-]

I think your ideas are good. And I think that the case when M, N, P lie on the extensions is easier. My problem is very difficult . I'm wondering if in the case a>c>b triangle is really equaliteral - no one cannot prove it - and I think it may not be. What do you think about solution in mathlinks.ro?

[Sasha Rybak]

Как насчёт простого решения.

Пусть $BC=a,\ AC=b,\ AB=c,\ \angle BAC=\alpha,\ \angle ABC=\beta,\ \angle ACB=\gamma,$.

Лемма. Если для треугольников $\triangle ABC, \triangle XYZ:\ AB \ge XY, \angle ABC=\angle XYZ, \angle BAC \ge \angle YXZ$, то $BC \ge YZ$. Причём если хоть одно неравенство - строгое, то $BC>YZ$.
Доказательство. Если AB>XY, увеличим $\triangle XYZ$, чтобы было AB=XY. Совместим стороны AB и XY, чтобы лучи BC и YZ совпали. Теперь из $\angle BAC \ge \angle YXZ$ получим, что Z лежит на отрезке BC, то есть $BC \ge YZ$. Если $\angle BAC>\angle YXZ$ - то Z лежит строго внутри BC, то есть $BC>YZ$. или же мы увеличивали $\triangle XYZ$, то $BC \ge YZ_{greatened}>YZ_{initial}$.

Пусть a - наибольшая из сторон. Возможны случаи $a \ge b \ge c$ (и тогда $\alpha \ge \beta \ge \gamma$) или $a \ge c \ge b$ (и тогда $\alpha \ge \gamma \ge \beta$). В первом случае рассмотрим треугольники ACM и BAN, во втором - CBP и BAN. Применяя к ним Лемму, получаем, что для AM=BN (в 1-м случае) или CP=BN (во 2-м случае) необходимо $b=c$ и $\alpha=\beta$ (первый случай) или же $a=c$ и $\gamma=\beta$ (второй случай). Каждый вариант приводит к равностороннести $\triangle ABC$.

[ins-]

Is this solution to original (mine) problem?

[Sasha Rybak]

Yes.

Ooops... no. I thought, that AM, BN and CP are cevians, but they are parts of sides.

[ins-]

What do you think is it really difficult and beautiful problem?

[TOTAL]

Sasha Rybak писал(а):

Пусть a - наибольшая из сторон. Возможны случаи $a \ge b \ge c$ (и тогда $\alpha \ge \beta \ge \gamma$) или $a \ge c \ge b$ (и тогда $\alpha \ge \gamma \ge \beta$). В первом случае рассмотрим треугольники ACM и BAN, во втором - CBP и BAN. Применяя к ним Лемму, получаем, что для AM=BN (в 1-м случае) или CP=BN (во 2-м случае) необходимо $b=c$ и $\alpha=\beta$ (первый случай)

А разве не получаем по Лемме всего лишь $AN < CM$?

[Sasha Rybak]

Да, я запутался в рисунке. Считал, что равны чевианы.
В исходной формулировке моя идея не работает, когда a>c>b, и при этом угол $\alpha$ - тупой.

[ins-]

So we are at our starting point . I think that in this case triangle may not be equaliteral but I cannot prove or disprove this statement. In any cases it is very difficult problem. If you cannot invent anything useful you may try to confirm or not confirm vittasko-s solution at mathlinks.ro.

[TOTAL]

ins- писал(а):

So we are at our starting point . I think that in this case triangle may not be equaliteral but I cannot prove or disprove this statement. In any cases it is very difficult problem.

Вы не поняли решение, которое я привел выше? Или с чем-то не согласны?

[ins-]

I'm speaking about Sasha Rybak's solution. As I'm understanding you (TOTAL) had solved not original problem or I'm wrong?

[TOTAL]

ins- писал(а):

I'm speaking about Sasha Rybak's solution. As I'm understanding you (TOTAL) had solved not original problem or I'm wrong?

The problem I gave solution to is very much original.

[ins-]

"The problem I gave solution to is very much original" I didn't understand. What problem was solved by TOTAL - with M, N, P are from sides (internally) or M, N, P lies of extesnsions of the sides?

[TOTAL]

ins- писал(а):

"The problem I gave solution to is very much original" I didn't understand. What problem was solved by TOTAL - with M, N, P are from sides (internally) or M, N, P lies of extesnsions of the sides?

internally

[ins-]

I'm not sure. You are using an equality that is for a triangle that M, N, P are on the extensions it is token from "незванны гость". For triangle with M, N, P on the sides the following equalities may be written:

1. $ \frac{sin \alpha}{sin \beta}=\frac{sin(\gamma+ \varphi)}{sin(\alpha + \varphi)} $
2. $ \frac{sin \beta}{sin \gamma}=\frac{sin(\alpha+ \varphi)}{sin(\beta + \varphi)} $
3. $ \frac{sin \gamma}{sin \alpha}=\frac{sin(\beta + \varphi)}{sin(\gamma + \varphi)} $