Система уравнений химической кинетики

[DLL]

Имеется система из трех уравнений химической кинетики с тремя неизвестными (скажем: $x, y, z$).
Это система полиномиальных уравнений с пятью параметрами (например, $A, B, C, D, E$).

Хочется ее решить! Конечно, первым дело было решено попробовать найти базис Гребнера.
На хорошем компьютере за 3 суток и при 64 ГБ памяти это сделать не удалось.
Особенно удивителен этот факт с учетом того, что это уравнения всего лишь 3 степени

В принципе решать их аналитически и не обязательно. Можно ограничиться и численным решением.
Буду рад услышать комментарии...

[B@R5uk]

А сами уравнения можно увидеть?

[DLL]

$-G A_6 A_{16} A_{17} X_1-H A_6 A_{16} A_{17} X_1+A_6 A_{16} A_{17} X_1^2+A_6 A_{16} A_{17} X_1 X_2+A_6 A_{16} A_{17} X_1 X_3+G^3+G^2 H-5 G^2 X_1-G^2 X_2-3 G^2 X_3-4 G H X_1-2 G H X_3+8 G X_1^2+4 G X_1 X_2+10 G X_1 X_3+2 G X_2 X_3+3 G X_3^2-H A_{16} X_1+4 H X_1^2+4 H X_1 X_3+H X_3^2+2 A_{16} X_1 X_2+A_{16} X_1 X_3-4 X_1^3-4 X_1^2 X_2-8 X_1^2 X_3-4 X_1 X_2 X_3-5 X_1 X_3^2-X_2 X_3^2-X_3^3+G X_3-2 X_1 X_3-X_3^2 = 0$

$G H^2-4 G H X_2-2 G H X_3-G A_6 X_2+4 G X_2^2+4 G X_2 X_3+G X_3^2+H^3-H^2 X_1-5 H^2 X_2-3 H^2 X_3-H A_6 X_2+H A_{17} X_3+4 H X_1 X_2+2 H X_1 X_3+8 H X_2^2+10 H X_2 X_3+3 H X_3^2+A_6 X_1 X_2+A_6 X_2^2+A_6 X_2 X_3-2 A_{17} X_2 X_3-A_{17} X_3^2-4 X_1 X_2^2-4 X_1 X_2 X_3-X_1 X_3^2-4 X_2^3-8 X_2^2 X_3-5 X_2 X_3^2-X_3^3-G X_2+2 X_1 X_2+X_2 X_3 = 0$

$-G A_6 A_{17} X_3-H A_6 A_{17} X_3+A_6 A_{17} X_1 X_3+A_6 A_{17} X_2 X_3+A_6 A_{17} X_3^2+G^2 H-2 G^2 X_2-G^2 X_3+G H^2-3 G H X_1-3 G H X_2-3 G H X_3+6 G X_1 X_2+3 G X_1 X_3+2 G X_2^2+5 G X_2 X_3+2 G X_3^2-2 H^2 X_1-H^2 X_3+H A_{16} X_1-H A_{17} X_3+2 H X_1^2+6 H X_1 X_2+5 H X_1 X_3+3 H X_2 X_3+2 H X_3^2-2 A_{16} X_1 X_2-A_{16} X_1 X_3+2 A_{17} X_2 X_3+A_{17} X_3^2-4 X_1^2 X_2-2 X_1^2 X_3-4 X_1 X_2^2-8 X_1 X_2 X_3-3 X_1 X_3^2-2 X_2^2 X_3-3 X_2 X_3^2-X_3^3+G X_2-G X_3-2 X_1 X_2+2 X_1 X_3-X_2 X_3+X_3^2 = 0$

$X_1, X_2, X_3$ - неизвестные
$A_6, A_{16}, A_{17}, G, H$ - параметры

(Оффтоп)

Физически мы ищем концентрации в условии равновесия. Поэтому получается система полиномиальных уравнений (вместо дифференциальных). Три параметра A характеризуют скорости реакции, а G и H - начальные концентрации.

[ИСН]

DLL в сообщении #822629 писал(а):

Физически мы ищем концентрации в условии равновесия.

Это называется термодинамика. А кинетика Вам зачем?

[B@R5uk]

А эти уравнения откуда берутся? Их вид намекает на то, что они раньше были в более приглядной и понятной форме. Откуда берутся коэффициенты 8, 5, 4, 2, 1 со знаками при третьих степенях?

Численное решение этой системы будет осложнятся возможным наличием нескольких решений.

Хотелось бы так же воспользоваться тем, что три икса зависит от пяти параметров, а не от 60, как было бы в общем случае системы из трёх кубических уравнений относительно трёх переменных. Но этого сделать нельзя, покуда не привести уравнения к более-менее разумному виду.

А ещё мне кажется, что тут с размерностью величин проблема. Если, разумеется, за переменными в уравнении стоят какие-то физические величины.

[mihiv]

Существует метод, сводящий решение системы полиномиальных уравнений к нахождению корней полиномов от одной переменной с помощью результанта.

[B@R5uk]

mihiv в сообщении #822702 писал(а):

сводящий решение системы полиномиальных уравнений к нахождению корней полиномов от одной переменной

А можно по-подробней, пожалуйста. А лучше ссылку на конкретную литературу. Потому что этот метод вкупе с с методом Штурма позволит численно находить все корни системы полиномиальных уравнений.

Про метод Штурма есть книжка Шафревич И. Р. "О решении уравнений высших степеней (методом Штурма)".

[DLL]

Цитата:

Это называется термодинамика. А кинетика Вам зачем?

Пока что кинетика и не требуется. В начале хотелось бы найти равновесные концентрации.

Цитата:

А эти уравнения откуда берутся? Их вид намекает на то, что они раньше были в более приглядной и понятной форме. Откуда берутся числа 8, 5, 4, 2, 1 со знаками при третьих степенях?

Записывается система уравнений химической кинетики. Это система ОДУ первого порядка относительно концентраций веществ:

$$\frac{dX_i}{dt}=f_i(X_j),$$

где $f_i$ - это полином по $X_j$.
Чтобы найти равновесные концентрации полагаем левую часть нулем, и получается система полиномиальных уравнений.
Теперь по поводу чисел. Дело в том, что здесь идут 17 обратимых реакций. Это означает, что надо ввести 34 параметра - скорости реакций.
Однако, из физических соображений одни скорости приводятся к другим.
И таким образом, удается вместо 34 параметров ограничиться 3 - $A_{16}, A_{17}, A_6$.

[B@R5uk]

Какую размерность имеют числа $G$, $H$, $X_j$ и $A_i$?

[DLL]

Цитата:

Существует метод, сводящий решение системы полиномиальных уравнений к нахождению корней полиномов от одной переменной с помощью результанта.

Да, я пробовал считать с помощью результанта.

Представил все 3 полинома как полиномы от $X_1$. Далее посчитал результант от 1 и 2, а затем от 2 и 3.
В итоге, получилось два полинома зависящих от $X_2, X_3$. Далее, остается посчитать только результант от этих двух полиномов.
Но вот эта задача оказывается неподъемной для систем компьютерной алгебры. Последний результант это определитель 14 на 14 с громоздкими коэффициентами. В общем, за сутки на мощном компьютере Maple не смог завершить вычисления...

[Maslov]

Если численные методы допустимы, то, на мой взгляд, можно попробовать

1. Решать исходную системы ОДУ химической кинетики. Мы для подобных задач использовали программу LSODE - Livermore Solver for Ordinary Differential Equations (она довольно хорошо работает в жестких случаях).

2. Решать нелинейную систему уравнений для равновесного состояния каким-нибудь методом нелинейной оптимизации, взяв в качестве исходного приближения начальные концентрации реагентов.

У Вас закрытый реактор?

[B@R5uk]

DLL в сообщении #822717 писал(а):

Да, я пробовал считать с помощью результанта.

Подскажите, пожалуйста, литературу по этому методу.

[mihiv]

B@R5uk в сообщении #822929 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, литературу по этому методу.

Например, В. Прасолов, "Многочлены".

[B@R5uk]

mihiv, спасибо.

[DLL]

Попробовал посчитать базис Гребнера, вычисляя коэффициенты рациональных параметрических функций по модулю простого числа.
Вылетело с ошибкой: "Error, (in mod/Gcd/hensel) inconsistent degrees". Что бы это могло значить?