диофантово уравнение

[Fedya]

Доброго времени суток, уважаемые математики, подскажите, пожалуйста, по уравнению.
$(x-7t)(x+7t)=3(t-y)(t+y)$
Доказать, что оно имеет бесконечно много решений в попарно взаимно простых числах.

[ИСН]

Ой, ну наверняка же сведётся к уравнению Пелля, и там вылезет какое-нибудь параметрическое решение.

[Null]

$x^2+3y^2=52t^2$ Найдите какое нибудь хорошее решение.
$(x_0+\sqrt{-3}y_0)(x_0-\sqrt{-3}y_0)=52$ А теперь стандарнтый метод. Попробуйте догадаться или где-нибудь прочитать. А то получиться что я за вас решил.

[tatkuz1990]

Похоже, что решать нужно более простое уравнение:

$ p^2+q^2=13 \cdot z^2$

где $p \, ; \, q$ - взаимно простые числа

При этом $x=2p\, ; \, y=2q$

[ИСН]

tatkuz1990 в сообщении #820996 писал(а):

$x=2p\, ; \, y=2q$

но

Fedya в сообщении #820971 писал(а):

попарно взаимно простых

[tatkuz1990]

Вот сомневаюсь: есть ли вообще решения в попарно простых числах? Пример можете дать?

[Shadow]

tatkuz1990 в сообщении #820999 писал(а):

Вот сомневаюсь: есть ли вообще решения в попарно простых числах? Пример можете дать?

Например, $(7,1,1);(5,3,1);(19,27,7)\cdots$

[B@R5uk]

Брутфорсом от 1 до 200 найдены следующие решения:

(Оффтоп)

     2     4     1
     4     8     2
     5     3     1
     5    29     7
     5   179    43
     6    12     3
     7     1     1
     7    79    19
     7   129    31
     8    16     4
    10     6     2
    10    20     5
    10    58    14
    12    24     6
    14     2     2
    14    28     7
    14   158    38
    15     9     3
    15    87    21
    16    32     8
    18    36     9
    19    27     7
    19    53    13
    20    12     4
    20    40    10
    20   116    28
    21     3     3
    22    44    11
    24    48    12
    25    15     5
    25   145    35
    26    52    13
    28     4     4
    28    56    14
    30    18     6
    30    60    15
    30   174    42
    31    23     7
    31   153    37
    32    64    16
    34    68    17
    35     5     5
    35    21     7
    36    72    18
    38    54    14
    38    76    19
    38   106    26
    40    24     8
    40    80    20
    41    17     7
    42     6     6
    42    84    21
    44    88    22
    45    27     9
    46    12     7
    46    92    23
    48    96    24
    49     7     7
    50     4     7
    50    30    10
    50   100    25
    52   104    26
    54   108    27
    55    33    11
    56     8     8
    56   112    28
    57    81    21
    57   159    39
    58   116    29
    60    36    12
    60   120    30
    62    46    14
    62   124    31
    63     9     9
    64   128    32
    65    39    13
    66   132    33
    67    69    19
    68   136    34
    70    10    10
    70    36    13
    70    42    14
    70    68    19
    70   140    35
    72   144    36
    74   148    37
    75    45    15
    76   108    28
    76   152    38
    77    11    11
    78   156    39
    80    48    16
    80   160    40
    82    34    14
    82   164    41
    84    12    12
    84   168    42
    85    51    17
    86   172    43
    88   176    44
    89    17    13
    90    54    18
    90   180    45
    91    13    13
    92    24    14
    92   184    46
    93    69    21
    94   188    47
    95    57    19
    95   135    35
    96   192    48
    98    14    14
    98   116    31
    98   196    49
   100     8    14
   100    60    20
   100   200    50
   105    15    15
   105    63    21
   110    66    22
   112    16    16
   114   162    42
   115    43    19
   115    69    23
   115   139    37
   119    17    17
   120    72    24
   122    36    19
   123    51    21
   124    92    28
   125    75    25
   125   107    31
   126    18    18
   130    78    26
   133    19    19
   133   189    49
   134   138    38
   135    81    27
   137     1    19
   138    36    21
   140    20    20
   140    72    26
   140    84    28
   140   136    38
   145    87    29
   147    21    21
   149   157    43
   150    12    21
   150    90    30
   151   127    37
   154    22    22
   155    93    31
   155   115    35
   160    96    32
   161    23    23
   161   153    43
   163   181    49
   164    68    28
   165    99    33
   168    24    24
   170   102    34
   175    25    25
   175   105    35
   178    34    26
   180   108    36
   182    26    26
   184    48    28
   185   111    37
   186   138    42
   189    27    27
   190    68    31
   190   114    38
   190   172    49
   195   117    39
   196    28    28
   197    61    31
   200    16    28
   200   120    40

Явственно видна закономерность. В то же время кажется, что не все решения укладываются в эту закономерность, но на самом деле это не так. Все решения подчиняются одной и той же закономерности: они лежат на одной из прямой, выходящей из начала координат с определённым шагом.

(Оффтоп)

Это пример того, что мой лектор по матану называет "количество переходит в качество".

[ИСН]

Вы бы ещё пифагоровы тройки так искали. Там похожая картинка. "Закономерность" - это кратные решения от малых удачных хитов, а настоящая-то закономерность здесь даже и не видна. Или, может, видна, если удалить все кратные.

[B@R5uk]

ИСН в сообщении #821011 писал(а):

Вы бы ещё пифагоровы тройки так искали.

Чтобы искать пифагоровы тройки есть замечательная книга Прельмана "Занимательная алгебра", глава 4 "Диофантовы уравнения". Там самым подробнейшим образом разжёвано, как решать диофантовы уравнения как раз на примере пифагоровых троек.

[ИСН]

Спасибо, я об этом уже что-то слышал.

[nnosipov]

B@R5uk,
и как же решить уравнение $x^2+3y^2=52t^2$ в целых числах?

[tatkuz1990]

Что за ерунда?

$7^2+1^2=50 \ne 52 \cdot 1^2$

[ИСН]

3

[tatkuz1990]

пардон, ошибс...