Вопрос про билинейную форму

[Apr]

Пусть $\alpha$ – билинейная форма, удовлетворяющая условию $\alpha(v,w) = 0 \leftrightarrow \alpha(w,v) = 0$. Докажите, что $\alpha$ либо симметрическая, либо кососимметрическая.

[Утундрий]

Ваши попытки решения?

[Apr]

Я брал билинейную форму $\alpha(x,y)$ от каких-то двух любых векторов и пытался доказать, что $\alpha(y,x)$ удовлетворяет требуемым условиям, но я не знаю, как здесь применить данное в задаче условие.
А также непонятно, что будет если для любых двух ненулевых векторов билинейная форма не равна нулю – тогда данное в задаче условие вообще негде применить.

[exitone]

Вы, видимо, не ясно понимаете условие.

Если из того, что билинейная форма обращается на паре векторов в нуль ($\alpha(v, \omega) = 0 $)следует что она обращается в нуль на $\alpha (\omega, v) $ и если верно обратное, то тогда форма либо симметричная, либо кососимметричная.

кососимметричность: $\alpha(v,\omega) = \frac{1}{2} \alpha(v,\omega) + \frac{1}{2} \alpha(v,\omega) = ...$ , дальше сами :)

симметричность: кое что похожее надо придумать, подумайте.

[Утундрий]

exitone
Это не решение.

Apr
Как произвольная билинейная форма соотносится с некоторой симметрической и не менее некоторой кососимметрической?

[exitone]

Ну да, это намек на то, что из условий следует то, что нужно.
Нужно еще показать, что другого быть не может.

[Утундрий]

Любую... билинейную... форму... можно... представить... как...
Как?

[patzer2097]

как один из вариантов, могу предложить доказать, что
линейные функционалы отличаются на постоянный множитель если имеют одинаковые ядра.
если это получится, то в условиях задачи получим $\alpha(u,v)=c_u\alpha(v,u)$. Тогда $c_uc_v=1$ для любых $u$ и $v$, и потому $c_u$ либо всегда $1$, либо всегда $-1$.

[Apr]

Утундрий в сообщении #820454 писал(а):

Любую... билинейную... форму... можно... представить... как...
Как?

Как сумму симметрической и кососимметрической билинейных форм? Только пока не понял, что из этого следует.

[Утундрий]

Apr в сообщении #820465 писал(а):

Как сумму симметрической и кососимметрической билинейных форм?

Йа.

Apr в сообщении #820465 писал(а):

Только пока не понял, что из этого следует

А возьмите это представление, да и подставьте въ.

[Apr]

Получается следующее: если $\alpha^+(v,w) = \frac{\alpha(v,w)+\alpha(w,v)}{2}$ и $\alpha^-(v,w) = \frac{\alpha(v,w)-\alpha(w,v)}{2}$, то $\alpha(v,w) = \alpha^+(v,w) + \alpha^-(v,w)$ и $\alpha(w,v) = \alpha^+(v,w) - \alpha^-(v,w)$. Подставляя в данное в задаче условие, получаем $\alpha^+(v,w) + \alpha^-(v,w) = 0 \leftrightarrow \alpha^+(v,w) - \alpha^-(v,w) = 0$. Следовательно, $\alpha^-(v,w) = 0$, откуда $\alpha(v,w) = \alpha(w,v)$. И мы получаем, что $\alpha$ – симметрическая билинейная форма. Что-то не так

[Утундрий]

Apr в сообщении #820486 писал(а):

Следовательно

Не следовательно.

[Apr]

Утундрий в сообщении #820491 писал(а):

Apr в сообщении #820486 писал(а):

Следовательно

Не следовательно.

Спасибо. Вроде бы разобрался.

[provincialka]

Покажете, как? Я что-то пока не понимаю, как от некоторых $u,w$, связанных условием, перейти к произвольным аргументам

[Утундрий]

provincialka в сообщении #820499 писал(а):

как?

Последовательно. Сначала в одну сторону, потом в другую.
Попытка пойти в обе стороны сразу - типа быстрее - на самом деле не самый удачный выбор.

provincialka в сообщении #820499 писал(а):

как от некоторых <...> перейти к произвольным

По условию они произвольны.