Нестационарное гиперболическое уравнение

[Oleg Zubelevich]

Vince Diesel
т.е. мои вопросы выше, Вы предпочли не комментировать. Это тоже ответ.

[Munin]

g______d в сообщении #820201 писал(а):

Это бесконечно гладкая, но не аналитическая функция.

Ну вот, щас окажется, что все, кроме меня, не делают разницы между комплексной аналитичностью и действительной аналитичностью, а меня заставляли запоминать, что это совершенно разные вещи (и действительная аналитичность - как раз бесконечная гладкость и есть, или ей равносильна).

[Xaositect]

Munin в сообщении #820304 писал(а):

Ну вот, щас окажется, что все, кроме меня, не делают разницы между комплексной аналитичностью и действительной аналитичностью, а меня заставляли запоминать, что это совершенно разные вещи (и действительная аналитичность - как раз бесконечная гладкость и есть, или ей равносильна).

Так и есть. Бесконечная дифференцируемость - это бесконечная дифференцируемость, а аналитичность - это раскладываемость в степенной ряд.

[Red_Herring]

Если Вам нужна задача Коши по $t$ то она очень плохо поставлена (очень плохо в том смысле что даже аналитичности начальных данных не хватает.

С задачей Коши по пространственной переменной $x$ или $y$ дело обстоит получше: она хорошо поставлена в классах Жевре с показателем $<2$ и плохо поставлена при показателе $>2$.

[ChaosProcess]

Red_Herring в сообщении #824285 писал(а):

Если Вам нужна задача Коши по $t$ то она очень плохо поставлена (очень плохо в том смысле что даже аналитичности начальных данных не хватает.

С задачей Коши по пространственной переменной $x$ или $y$ дело обстоит получше: она хорошо поставлена в классах Жевре с показателем $<2$ и плохо поставлена при показателе $>2$.

Начальные условия будут включать в себя функции Хевисайда, так что преобразование Фурье выйдет в обобщенные функции...

[Red_Herring]

ChaosProcess в сообщении #824314 писал(а):

Red_Herring в сообщении #824285 писал(а):

Если Вам нужна задача Коши по $t$ то она очень плохо поставлена (очень плохо в том смысле что даже аналитичности начальных данных не хватает.

С задачей Коши по пространственной переменной $x$ или $y$ дело обстоит получше: она хорошо поставлена в классах Жевре с показателем $<2$ и плохо поставлена при показателе $>2$.

Начальные условия будут включать в себя функции Хевисайда, так что преобразование Фурье выйдет в обобщенные функции...

Если мы говорим о задаче Коши по $x$ то не просто в обобщенные функции, а в обобщенные функции над пространством Жевре $\mathcal{D}_\kappa$, т.е. над более узким (и тем самым они будут более сингулярными, чем обычные). Например $\mathcal{D}'_\kappa$ включает $\sum_{n\ge 0} \frac{c^n}{(n!)^\kappa} \delta^{(n)}$.
И Вам придется разрешить $\kappa >2$

[ChaosProcess]

Каюсь, первый раз слышу про пространства Жевре.
А почему Вы говорите, что по пространственным переменным плохо поставлена? Там же просто волновое уравнение.

[Red_Herring]

ChaosProcess в сообщении #824337 писал(а):

Каюсь, первый раз слышу про пространства Жевре.
А почему Вы говорите, что по пространственным переменным плохо поставлена? Там же просто волновое уравнение.

Нет, разумеется, там не просто волновое уравнение--там сидит "вредный" член $э\partial_t$ не подчиненный главной части. Если у нас з. К. по $x$, то сделаем преобразование Фурье по $(y,t)\to (\eta,\tau)$ и найдем $\hat{u}(x,\eta,\tau)=A(\eta,\tau)e^{\xi_1 x}+B(\eta,\tau) e^{\xi_2 x}$ с $\xi_{1,2}=\pm \sqrt{\eta^2-i\eta}$ и один из этих корней имеет отрицательную мнимую часть растущую при $\tau\to\infty$ как $|\tau|^{\frac{1}{2}}$, и это показывает какого сорта обобщенной функцией будет решение и критический показатель Жевре $2=1/{\frac{1}{2}}$

[ChaosProcess]

Red_Herring в сообщении #824383 писал(а):

Нет, разумеется, там не просто волновое уравнение--там сидит "вредный" член $э\partial_t$ не подчиненный главной части.

Извините, я думал, вы говорите про стационарное уравнение.

[Red_Herring]

Поправка $\xi_{1,2}=\pm\sqrt{\eta^2-i\tau}$.

[sergei1961]

Для задач Коши без краевых условий формула связи решений волнового уравнения и теплопроводности есть, например, в книге:
Jürgen Jost. Partial Differential Equations. Springer, 2007.
Theorem 6.3.2 P. 148-149.
Видел книгу, где эти связи долго обыгрываются в нескольких параграфах, кажется по-русски, но склероз...
А с идейной точки зрения наличие такой связи вытекает из существования явных неклассических операторов преобразования, переводящих вторую производную в первую.

[sergei1961]

Вспомнил-формулы связи цитируются в Лаврентьеве, который уже упоминался, со ссылкой на книгу С.Г.Крейна.