Два прямоугольника

[Shadow]

(Оффтоп)

Не уверен что точный раздел, но не хотел в "олимпиадных", я сам до конца не разобраться.

Прямоугольники с размерами $2415\times 1768 \text{ и } 595\times 3588$ обладают следующими свойствами:

- Их стороны и диагонали - взаимнопростые целые числа.
- Их периметры равны.
- Площадь первого в два раза больше площади второго.

Найдите другая такая пара.

[Shadow]

Сформулирую иначе, без этих чисел.
Нетрудная задача: Два прямкоугольника с целыми длинами сторон. Их периметры равны, а площадь первого в два раза больше площади второго. Доказать, что длина диагонали первого - тоже целое число.
И естественно возникает вопрос: А может ли при этом и длина диагонали второго быть целым?

[Cash]

Задача сводится к следующей:
найти такие $m > n$, что $m(m+n) \text{ и } n(m-n)$ являются катетами пифагорова треугольника. $m, n$ - натуральные, взаимнопростые, разной четности
В частности, прямоугольники с размерами $2415\times 1768 \text{ и } 595\times 3588$ соответствуют $m=52, n=17$
При $m<10000$ других решений нет, но дальше их количество довольно велико.
Например, для $m<20000$ находятся еще три пары:
$(17819, 4292) \text{: } 299095497\times 152958296$ и $393995909 \times 58057884$
$(18992,6461)\text{: }318951543\times 245414624$ и $483403376 \times 80962791$
$(19285,12606)\text{: }212999989\times 486213420$ и $615017935 \times 84195474$

[Shadow]

Cash, с первой частью согласен, с второй - нет. Ни один из трех примеров не является решением.

-- 28.01.2014, 10:07 --

Диагонали почти целые, но...почти.

[Cash]

Проблема с округлением, видимо. Что-то не подрасчитал, не думал, что это актуально.
Ок, сейчас скормим нормальной системе.

[nnosipov]

А в чём проблема? Берём точку (предоставленную Shadow) и удваиваем её на соответствующей эллиптической кривой. И получаем таким образом бесконечно много точек.

Вот, собственно: $m=1321690260436$, $n=1768958362271$.

[Shadow]

nnosipov в сообщении #819993 писал(а):

А в чём проблема? Берём точку (предоставленную Shadow) и удваиваем её на соответствующей эллиптической кривой. И получаем таким образом бесконечно много точек.
Вот, собственно: $m=1321690260436$, $n=1768958362271$.

Тут проблема в том, что $m<n$, в результате одна сторона будет отрицательной. (Как и например при $m=1,n=4$ что дает решение в целых, но не в натуральных.) Но путь к решению такой же.

Задача сводится к решению в рациональных уравнения:
$y^2=(x^2+x)^2+(x-1)^2$. Тут $x=\frac m n$, причем подходят решения $x>1$ или $x\in (-1,0)$ так как если $(x,y)$ является решением, то и $(-\frac 1 x,\frac{y}{x^2})$ тоже.

Я сделал замену (не знаю удачную ли) $y=x^2+x-s$, что привело к кв. уравнению

$(2s+1)x^2+2(s-1)x+1-s^3=0$ с дискриминантом $2s^3+2s^2-4s$
И удваивал точку $(-1,2)$ на кривой $t^2=2s^3+2s^2-4s$

Первый раз получлось $s=\dfrac 9 8,t=\dfrac{15}{16}$ что соответствует $x=-\dfrac{17}{52}$ - известное решение, последующее удваивание дало $s=\dfrac{43681}{7200}$ или

$x=\dfrac{571663}{436440}$

Попытки найти более красивую точку не удались. (или получалась она, или неподходящие)
Попытки хоть частичной параметризации - тоже.

[nnosipov]

Shadow в сообщении #820009 писал(а):

Тут проблема в том, что $m<n$, в результате одна сторона будет отрицательной.

Да, я на это не обратил внимание.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Загадки, головоломки, ребусы» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

[scwec]

Редко бываю на форуме, но очень рад, что решение таких задач связывается с эллиптическими кривыми.
Сама задача просто блеск.
Параметрическое решение - это решение уравнения $y^2=(x^2-2)(x^2+4)$
Не думаю, что это просто.