Как оценить характеристики привода для заданного механизма

[matod]

Подскажите, как можно примерно оценить параметры привода (прежде всего - развиваемое усилие) в следующей задаче:



Рычаг высотой h опирается на середину площадки длиной L. Один конец площадки закреплен шарнирно, другой подперт пружиной с жесткостью K. На верхнем конце рычага закреплен груз массой М. В положении равновесия рычаг размещен вертикально. К грузу прикладывается усилие, развиваемое приводом. Требуется определить, какими характеристиками должен обладать привод, чтобы обеспечить возвратно-поступательное движение груза. Частота f и амплитуда A известны.

Массу рычага можно не учитывать, так же как прочие "мелочи" - нужно оценить порядок требуемого усилия, а не строить точную модель.

Забытая школьная физика не помогла Силу, необходимую для того чтобы просто наклонить рычаг еще можно было бы посчитать, но что-то подсказывает, что для того, чтобы раскачивать придется как-то учитывать собственные колебания системы и инерцию груза и это будет совсем другое число.

Если нет простого способа сделать такую оценку, то хотелось бы знать, как вообще подступиться к такой задаче, насколько это сложно считается, может методика существует.

P.S. Можно, наверное, еще более простую задачу рассмотреть - без нижней площадки и пружины, просто шарнирная опора внизу, груз, перемещаемый приводом, наверху.

[hostagedown]

Надо начать с выписывания уравнений движения. Также необходимо выписать все граничные условия.

[matod]

Что-то туго у меня идет, без опыта решения подобных задач. Начну с простоейшего случая:


Привод П обеспечивает гармоническое колебание груза массой m с частотой f и амплитудой А. Нужно оценить максимальное усилие привода.

Здесь имеем одномерный случай, будем рассматривать смещение центра груза относительно положения равновесия. Тогда уравнение движения будет задаваться формулой: $x=A\sin{2 \pi f t}$.

Найдем уравнение скорости: $v=x'_t=2A \pi f\cos{2 \pi f t}$
Уравнение ускорения: $a=v'_t=-4A\pi^2f^2 \sin{2\pi f t}$

При заданных А и f ускорение достигает максимума и минимума при значении синуса -1 и 1.
$a_{\max}=4 A \pi^2 f^2$
Теперь легко определить силу:
$F_{\max}=a_{\max}m=4 A \pi^2 f^2 m \approx 40Af^2 m$.

То есть, максимальное усилие (развиваемое приводом в крайних точках) пропорционально амплитуде, массе и квадрату частоты.
Например, для груза 1 кг, колеблющегося с частотой 1 Гц и амплитудой 10 см привод должен создавать усилие равное всего 4Н. Но при увеличении частоты до 10 Гц усилие вырастет в 100 раз.

В моем случае A=0.02 м, f=10 Гц, m=15 кг. То есть привод должен развивать усилие не менее $F=40\cdot{0.02}\cdot100\cdot15 = 1200$Н

Пока вроде все просто и понятно. И, надеюсь, правильно

[hostagedown]

А как же связь груза с системой подвеса? Уравнения движения должны учитывать эту связь. Наличие пружины и шарнир, в моем понимании, влияют на собственные частоты системы. Кстати, вертикальный и горизонтальный стержни связаны жестко?
В вашем случае необходимо определить, какие силы действуют на грузик, учитывая внешнюю силу $f(t)$. Для этого бывает полезно рассмотреть груз отдельно со всеми действующими на него силами.

[Oleg Zubelevich]

1) Напишите теорему об изменении кинетического момента системы относительно шарнира, считая силу, действующую со стороны привода неизвестной. Получите диф. уравнение на угол поворота рычага $\psi(t)$.
2) подставьте в полученной диф. уравнение требуемый закон движения груза $\psi=\psi(t)$ и найдите отсюда силу, которую должен развивать привод.

[matod]

Для hostagedown:

Связь стержней жесткая, груз прикреплен тоже жестко. присоединение привода не нарисовал на схеме. В реальности груз не точечный а пластина, к которой жестко присоединен шток привода. Но, это потребует, насколько я понимаю, учитывать характеристики груза и сильно усложнит задачу. Поэтому можно считать, что шток привода передает усилие на рычаг скользящей по рычагу опорой с шарниром.
Насчет собственных частот - вот об этом и речь... Думаю, наличие пружины может существенно изменить оценочное значение по сравнению с моим примитивным рассчетом выше.

Для Oleg Zubelevich:
Спасибо, вы показали мне новое направление. Действительно, с чего это я решил, что привод будет делать то, что я думаю - его поведение будет зависеть от характерстик системы. Теперь понятно, куда двигаться. Пошел думать, как составить уравнение момента.

[Theoristos]

У вас система с одной вращательной степенью свободы.
Будет некий момент инерции системы относительно оси вращения и некая зависимость потенциальной энергии системы от угла поворота - функция энергии в грав. поле и энергии сжатия пружины.
В результате в линейной постановке получается обыкновенное диф. уравнение второго порядка для гармонических колебаний.