Задача про зеркало

[Omega]

Уважаемые форумчане. У меня возник следующий вопрос, и я хотел бы с ним как следует разобраться.
Прошу Вашей помощи и одновременно прощения за, быть может, некорректные формулировки.

Итак, напротив движущегося с релятивистской скоростью бесконечного плоского зеркала находится предмет с известной ориентацией в пространстве.
Как будет выглядеть изображение предмета в зеркале для неподвижного наблюдателя?

Для начала я хотел бы разобраться с "двумерным" случаем.
А точнее, для начала, под каким углом отражается от движущегося зеркала свет?

Предположим, что в л.с.о. фотон падает на зеркало под углом $\varphi_{0}$ к вертикали. Найдём энергию и горизонтальный импульс фотона в системе зеркала:$E'=\gamma (E_{0}-(\vec{V},\vec{p}\,));p'_{x}=\gamma(\frac{E_{0}}{c}\sin{\varphi_{0}}-\beta \frac{E_{0}}{c})$. После найдём то же самое, но в л.с.о. после отражения: $p_{x}=\gamma(\frac{E'}{c}\sin{\varphi_{0}}+\beta \frac{E'}{c})$
Тогда в итоге:

$$\varphi=arctg \left ( \dfrac{p_{x}}{p_{y}} \right)=arctg \left (\dfrac{\gamma^{2}}{\cos{\varphi_{0}}} \left ( \sin{\varphi_{0}}-\beta\dfrac{(\vec{V},\vec{p}\,)}{E_{0}\right)}}\right)$$

Получается, если первоначальный горизонтальный импульс фотона и скорость зеркала сонаправлены, то угол отражения будет тем же, что и угол падения, если же нет, то $tg (\varphi)=tg (\varphi_{0}) \frac{1+\beta^{2}}{1-\beta^{2}}$ .
Неужели от направления движения зеркала должен зависеть угол отражения?

Буду рад, если у кого-нибудь найдётся время на то, чтобы проверить мои выкладки, и прокомментировать рассуждения. Заранее спасибо.

[Munin]

Проще всего с зеркалами работать в 4-мерном виде. Там работает простой закон отражения: угол падения равен углу отражения.

Соответственно, можно банально построить мнимое изображение предмета за зеркалом.

Для неподвижного предмета и движущегося зеркала, изображение будет двигаться вдвое быстрее (ну, понятно, что в смысле сложения скоростей СТО). Все релятивистские эффекты будут как при наблюдении такого быстродвижущегося предмета. Например, изменение энергии фотонов - это эффект Доплера для фотонов от быстродвижущегося тела.

Очевидно, если зеркало движется поперёк, в своей плоскости, то его движение никак на изображение не влияет.

-- 27.01.2014 19:17:56 --

Чтобы другие люди читали ваши выкладки, уделяйте побольше внимания объяснению своих обозначений. Что за вертикаль? Как расположены оси координат?

[Omega]

Munin в сообщении #819675 писал(а):

Очевидно, если зеркало движется поперёк, в своей плоскости, то его движение никак на изображение не влияет.

Поперёк чему, и почему "очевидно"? Я не понял, поясните пожалуйста?

Munin в сообщении #819675 писал(а):

Чтобы другие люди читали ваши выкладки, уделяйте побольше внимания объяснению своих обозначений. Что за вертикаль? Как расположены оси координат?

Да конечно, прошу прощения..
Вертикаль - это перпендикуляр к плоскости зеркала.
Оси направлены так: $Ox$ - вдоль зеркала, $Oy$ - по нормали.
Вот, если что пояснительный рисунок:

[Munin]

Omega в сообщении #819970 писал(а):

Поперёк чему, и почему "очевидно"? Я не понял, поясните пожалуйста?

"Поперёк" - это я плохо сказал. Я имел в виду, поперёк своего перпендикуляра в 3-мерном пространстве. Или, если смотреться прямо в зеркало, то поперёк луча зрения. Отсюда и слово.

Дальше я это уточнил: "в своей плоскости". Но видимо, только запутал сильнее.

Извините за неоднозначность.

----

Почему очевидно? Потому что при этом 4-мерная плоскость зеркала остаётся такой же, как и при неподвижном зеркале. А поскольку в законе отражения фигурирует только плоскость зеркала, а не направление движения атомов зеркала в этой плоскости, то, очевидно, эти два случая для оптики безразличны.

Omega в сообщении #819970 писал(а):

Да конечно, прошу прощения..
Вертикаль - это перпендикуляр к плоскости зеркала.
Оси направлены так: $Ox$ - вдоль зеркала, $Oy$ - по нормали.
Вот, если что пояснительный рисунок:

Спасибо. Итак, у вас зеркало движется как раз в своей плоскости. Тогда $\varphi=\varphi_0.$ Иду искать ошибку (теперь выкладки будут читаемы).

-- 28.01.2014 17:07:17 --

P. S. Если рисунок не слишком широкий, его можно вставлять и прямо так, а не в виде thumbnail-а. Это удобней при чтении темы: можно смотреть на формулы и на рисунок, не переключаясь между окнами.

-- 28.01.2014 17:55:49 --

Omega в сообщении #819659 писал(а):

После найдём то же самое, но в л.с.о. после отражения: $p_{x}=\gamma(\frac{E'}{c}\sin{\varphi_{0}}+\beta \frac{E'}{c})$

Итак (пренебрегая ошибками в знаке), ошибка в этом месте. Вы берёте для связи энергии и горизонтальной составляющей импульса коэффициент $\sin\varphi_0,$ в то время как угол падения в системе зеркала изменился, и составляет уже $\arcsin(p_x'c/E').$

Разумеется, после подстановки правильного угла, вы получите $p_x=p_{0x}.$

[Munin]

Omega в сообщении #819659 писал(а):

Тогда в итоге:

$$\varphi=arctg \left ( \dfrac{p_{x}}{p_{y}} \right)=arctg \left (\dfrac{\gamma^{2}}{\cos{\varphi_{0}}} \left ( \sin{\varphi_{0}}-\beta\dfrac{(\vec{V},\vec{p}\,)}{E_{0}\right)}}\right)$$

Вот про эту формулу (за исключением, опять же, ошибок в знаке) ничего плохого не могу сказать. Видимо, вы её не выводили из предыдущей, а взяли как-то иначе, или предыдущую переписали на форум с ошибками.

Omega в сообщении #819659 писал(а):

Получается, если первоначальный горизонтальный импульс фотона и скорость зеркала сонаправлены, то угол отражения будет тем же, что и угол падения, если же нет, то $tg (\varphi)=tg (\varphi_{0}) \frac{1+\beta^{2}}{1-\beta^{2}}$ .
Неужели от направления движения зеркала должен зависеть угол отражения?

Этот вывод, видимо, целиком и полностью обязан своим происхождением вашим ошибкам в знаках.

Давайте объясню. Чтобы не ошибаться в знаках, необходимо:
1. Выбрать раз и навсегда "условно-положительные" направления всех осей и линий. Желательно сделать это одинаковым и "естественным" образом, например, выбирать положительные значения для $x$ и $p_x$ в одну сторону. Иногда это не получается (например, в электрических цепях со сложными контурами), тогда просто выбрать как угодно. Обязательно зафиксировать этот выбор, нарисовав чёткие и ясные рисунки, в которых вы сами не будете путаться. Начиная с этого момента, все ваши буквенные величины "алгебраические", то есть принимают значения со знаком.
2. Выписать уравнения, связывающие между собой величины со знаком, глядя на рисунок. Не держать их в голове! Не использовать несколько разных способов связи (то есть, например, придерживаться одного из вариантов $p_x,$ $p\sin\varphi,$ $(\vec{p},\vec{\imath}),$ и не смешивать их между собой).
3. Тщательно следить за знаком при преобразованиях формул. Первичный путь - формально точное преобразование формулы, по законам действий, уравнений и неравенств. Путь для проверки - интуитивная оценка знаков в исходной и в преобразованной формуле. Ни в коем случае не наоборот!
4. Для ответа (при коротких преобразованиях) и несколько раз в ходе выкладок (при долгих преобразованиях), особенно в конце логических шагов и при получении физически ясных промежуточных результатов, оценивать знак получившегося выражения, и сравнивать его с физически осмысленным знаком для этой величины. Внимание: не всегда правильный знак будет совпадать с интуитивно кажущимся! Если такое произошло, разобраться глубже в физических причинах другого знака. Иначе, искать ошибку в знаке в выкладках.

Как искать ошибки в выкладках - отдельная тема. (И как не делать - тоже.) Например, помогает чтение выкладок "задом наперёд": так глаз не скользит по уже "замыленному" пути, и описки больше бросаются в глаза.

[Omega]

Munin, преисполнен Вам благодарности. Большое спасибо.
Как же много вышло лишней мороки из-за того, что я каким-то неясным образом в преобразованиях импульса не ту компоненту использовал. Сам удивлён.
Ещё раз спасибо.
Проверил выкладки и действительно: не важно как падает свет, и куда движется зеркало, - угол падения равен углу отражения.

[Munin]

В общем, всё, что вы сейчас делаете, все годы, пока вы учитесь в вузе - вы, по сути, тренируетесь делать выкладки. Ошибки - это нормально. Но вы должны целенаправленно двигаться к тому, чтобы делать их без ошибок. Длинные, сложные, с разнообразными проверками, и без ошибок.