Дифф. ур-е и операционное исчисление

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Столкнулся с такой задачей:

1) Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом

$$x'+x=f(t), x(0)=0$$

функция $f(t)$ задана графиком

Пусть $x(t) \rightarrow X(p)$, тогда $x'(t) \rightarrow p \cdot X(p)$

Выражение для функции

$$f(t) = \chi (t) - \chi (t-1)$$

Тогда, по теореме запаздывания оригинала

$$ \chi (t) - \chi (t-1) \rightarrow \frac{1}{p} - \frac{e^{-p}}{p}$$

Операторное уравнение

$$p \cdot X(p) + X(p) = \frac{1}{p} - \frac{e^{-p}}{p}$$

Тогда

$$X(p) = \frac{1-e^{-p}}{p (p+1)} = \left ( \frac{1}{p} - \frac{1}{p+1} \right ) \cdot (1-e^{-p})$$

По теореме запаздывания находим оригинал $f(t)$ изображения $X(p)$

$$f(t) = (1-e^{-t}) \cdot (\chi (t) - \chi (t-1))$$

Вот вроде и ответ, но если применить преобразование Лапласа к найденной функции, то получается изображение, отличное от $X(p)$

Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так

[svv]

Limit79 писал(а):

$X(p) = \frac{1-e^{-p}}{p (p+1)} = \left ( \frac{1}{p} - \frac{1}{p+1} \right ) \cdot (1-e^{-p})$

Это ещё правильно. А дальше должно получиться
$f(t) = (1-e^{-t})\chi (t) - (1-e^{-(t-1)})\chi (t-1)$

Иными словами, $f(t) = h(t, 0)-h(t, 1)$, где
$h(t, a)=(1-e^{-(t-a)})\chi (t-a)$
есть отклик системы на единичный скачок в момент $t=a$.

[Limit79]

svv
Спасибо!