Кривизна пространства-времени в отсутствие вещества

[saraq]

Тема, созданная пользователем masha-90 про нулевое состояние полей (http://dxdy.ru/topic80477.html) натолкнула на некоторые размышления.

От массовой плотности энергии зависят геометрические свойства Вселенной. Согласно модели Фридмана, если $\Omega>1$, то такая Вселенная соответствует геометрии Римана, она конечна и имеет положительную кривизну. Если $\Omega=1$, то она бесконечна, соответствует Эвклидовой плоской геометрии и имеет нулевую кривизну. Если же $\Omega<1$, то у нее отрицательная кривизна, соответствует геометрии Лобачевского и опять пространственно бесконечна.

Все это понятно. Но вот представим себе состояние Вселенной с полями, находящимися в минимальном энергетическом состоянии, без возбуждений (хотя квантовые флуктуации останутся, их не убрать): то есть практически без вещества. Понятно, что в таком случае появляется Вселенная Де-Ситтера, и все зависит от космологической постоянной. Но какой будет кривизна такого состояния Вселенной (если она вообще есть), какой будет ее геометрия? Будет она конечной, или нет?

[VladimirKalitvianski]

Спросите что-нибудь по-легче.

А если серьезно, все эти кривизны и геометрии есть атрибуты в уравнениях движения пробной частицы, то есть совсем без вещества они не имеют смысла. А во вторых, минимальное энергетическое состояние не предполагает отсутствие окружающего вещества. Нельзя же абстрагироваться до такой степени, чтобы забыть что на что действует.

[saraq]

VladimirKalitvianski в сообщении #818634 писал(а):

А во вторых, минимальное энергетическое состояние не предполагает отсутствие окружающего вещества.

Если нету возбуждений полей, не будет и частиц, а значит вещества.

[VladimirKalitvianski]

saraq в сообщении #818639 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #818634 писал(а):

А во вторых, минимальное энергетическое состояние не предполагает отсутствие окружающего вещества.

Если нету возбуждений полей, не будет и частиц, а значит вещества.

Вы посмотрите на атом водорода и на его возбуждения, как на разные "элементарные" частицы. Не бывает возбуждений без того, что возбуждается. Возбуждения есть коллективные моды движения вещества в квантовомеханическом смысле.

[EvilPhysicist]

saraq вы напутали.
В ОТО геометрия Риманова. Модель Фридмана это модель однородной изотропной вселенной в рамках ОТО. Причем при любой массе вселенной она бесконечна.

saraq в сообщении #818627 писал(а):

Понятно, что в таком случае появляется Вселенная Де-Ситтера, и все зависит от космологической постоянной. Но какой будет кривизна такого состояния Вселенной

Постоянной. Решения dS и AdS описывают вселенную с постоянной не нулевой кривизной.
И, к слову, в ОТО при минимальном энергетическом состоянии не гравитационных полей кривизна всегда будет равна нулю.

[fizeg]

Вселенная де Ситтера это четырехмерный гиперболоид. Вы можете его расслоить на трехмерные пространства бесконечным числом способов, получая и замкнутые, и плоские и открытые...

[saraq]

EvilPhysicist в сообщении #818645 писал(а):

В ОТО геометрия Риманова.

Речь о геометрии всей Вселенной, которая зависит от ее средней плотности. То есть:

EvilPhysicist в сообщении #818645 писал(а):

Модель Фридмана это модель однородной изотропной вселенной в рамках ОТО.

.

EvilPhysicist в сообщении #818645 писал(а):

Причем при любой массе вселенной она бесконечна.

Не понял. Если средняя плотность больше критической и кривизна положительна, то как она может быть бесконечной?

EvilPhysicist в сообщении #818645 писал(а):

Постоянной. Решения dS и AdS описывают вселенную с постоянной не нулевой кривизной.

Как dS, так и AdS описывают Вселенную в состоянии вакуума, не так ли? Но от чего зависит выбор той или иной модели?

-- 24.01.2014, 15:56 --

fizeg в сообщении #818646 писал(а):

Вселенная де Ситтера это четырехмерный гиперболоид.

Может я ошибаюсь, но по-моему это Вселенная анти-де Ситтера.

fizeg в сообщении #818646 писал(а):

Вы можете его расслоить на трехмерные пространства бесконечным числом способов, получая и замкнутые, и плоские и открытые...

То есть сама по себе она бесконечна?

[fizeg]

saraq в сообщении #818651 писал(а):

Может я ошибаюсь, но по-моему это Вселенная анти-де Ситтера.

Вселенная анти-де Ситтера это вселенная де Ситтера "на боку", постараюсь сейчас объяснить

[EvilPhysicist]

saraq в сообщении #818651 писал(а):

Речь о геометрии всей Вселенной, которая зависит от ее средней плотности

Да. В ОТО в любом случае геометрия Римана.
Для с правки, геометрия Римана это когда везде есть нужное количество раз дифференцируемая метрика, определенным образом согласованная со связностью.

saraq в сообщении #818651 писал(а):

Не понял. Если средняя плотность больше критической и кривизна положительна, то как она может быть бесконечной?

Вот так:

$$ ds^2 = dt^2 -a (t)^2 dl^2 ~. $$

saraq в сообщении #818651 писал(а):

Как dS, так и AdS описывают Вселенную в состоянии вакуума, не так ли?

Не знаю. И никто не знает.
Просто так вышло, что у нас во вселенной не вакуум и поэтому как-то сложно рассуждать на эту тему.

fizeg в сообщении #818646 писал(а):

Вы можете его расслоить на трехмерные пространства бесконечным числом способов, получая и замкнутые, и плоские и открытые...

Ну вообще-то наша вселенная 4х мерна, поэтому что бы там ни было на 3х мерные простарнства расслаивать не надо.
Да и открытые и замкнутые модели вселенно тоже 4х мерные.

[saraq]

EvilPhysicist в сообщении #818664 писал(а):

Да. В ОТО в любом случае геометрия Римана.

То есть, в ОТО в любом случае у Вселенной положительная кривизна и она конечна?

[EvilPhysicist]

saraq в сообщении #818666 писал(а):

То есть, в ОТО в любом случае у Вселенной положительная кривизна и она конечна?

Кривизна к тому риманова геометрия или псевдориманова отношения не имеет.
Кривизна -- характеристика многообразия.
Римановость или псевдориманновость многообразия тоже характеристика многообразия, но другая.
И при желании в ОТО можно рассматривать модели с конечной вселенной. В моделях Фридмана она бесконечна.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #818645 писал(а):

Модель Фридмана это модель однородной изотропной вселенной в рамках ОТО. Причем при любой массе вселенной она бесконечна.

Модель Фридмана - это общее название для трёх моделей:
- с однородной положительной кривизной - "замкнутая" на жаргоне космологов - конечная;
- с однородной нулевой кривизной - "плоская" на жаргоне космологов - бесконечная;
- с однородной отрицательной кривизной - "открытая" на жаргоне космологов - бесконечная.
Границ нет ни в одной из них, но первый вариант устроен как 3-сфера конечного радиуса.

В старой и неудобной терминологии у такой геометрии (на самом деле, у чуть-чуть другой) было название "геометрия Римана" - в одном ряду с геометриями Евклида и Лобачевского. Не путать с "риманова геометрия"! Риманова геометрия - это намного более общее понятие и название. Сейчас "геометрию Римана" общепринято называть эллиптической геометрией, так меньше путаницы. Заодно геометрию Лобачевского - гиперболической.

Хокинг, Эллис. Крупномасштабная структура пространства-времени.
Там подробно описан весь "зоопарк" Фридманов, Де Ситтеров, и много ещё вкусного.

EvilPhysicist в сообщении #818645 писал(а):

И, к слову, в ОТО при минимальном энергетическом состоянии не гравитационных полей кривизна всегда будет равна нулю.

Не факт. В теории поля вне ОТО вакуумную энергию принято приравнивать нулю, потому что она ненаблюдаемая (да ещё и расходящаяся). Но в ОТО энергия наблюдаема по создаваемой ей гравитации, поэтому возможно, что ваккум - на самом деле ненулевая константа. И кривизна будет не нуль.

И аккуратней, различайте кривизну Римана и кривизну Эйнштейна. Первая - тензор 4 ранга, а вторая - 2. Уравнение Эйнштейна приравнивает нулю тензор Эйнштейна, но тензор Римана может оставаться ненулевым. Физическая суть: гравитационное поле может в точке не исчезать, но иметь характер чисто приливных сил без всестороннего сжатия. Электростатическая аналогия: в отсутствие заряда лапласиан от электрического потенциала в точке нулевой - всего лишь лапласиан, а не он сам. Сам потенциал может быть весьма замысловатой формы, лишь бы положительные вторые производные по направлениям сокращались по разным направлениям.

saraq в сообщении #818651 писал(а):

То есть сама по себе она бесконечна?

Она в четырёхмерном смысле бесконечна. Именно этот смысл - "сам по себе", а все остальные - относительные.

[saraq]

Munin в сообщении #818671 писал(а):

В старой и неудобной терминологии у такой геометрии (на самом деле, у чуть-чуть другой) было название "геометрия Римана" - в одном ряду с геометриями Евклида и Лобачевского. Не путать с "риманова геометрия"! Риманова геометрия - это намного более общее понятие и название. Сейчас "геометрию Римана" общепринято называть эллиптической геометрией, так меньше путаницы. Заодно геометрию Лобачевского - гиперболической.

Я виноват, что привел как пример старую терминологию и создал путаницу.

Munin в сообщении #818671 писал(а):

Она в четырёхмерном смысле бесконечна. Именно этот смысл - "сам по себе", а все остальные - относительные.

То есть Вселенная Де Ситтера бесконечна? Если в такой Вселенной есть только вакуум, то какова ее кривизна?

[EvilPhysicist]

saraq в сообщении #818676 писал(а):

То есть Вселенная Де Ситтера бесконечна?

Да

saraq в сообщении #818676 писал(а):

Если в такой Вселенной есть только вакуум, то какова ее кривизна?

Кривизна будет такой, какой захотите. Это же модель, какие параметры зададите, такой и будет.

[saraq]

EvilPhysicist в сообщении #818677 писал(а):

Кривизна будет такой, какой захотите. Это же модель, какие параметры зададите, такой и будет.

Если вакуум имеет положительную энергию, не значит ли это, что и кривизна будет положительной? Как в таком случае dS может быть бесконечным?