Вагонетка доставляет

[sly]

Штудирую Мякишева. Вот такую задачу встретил в Упр. 3:
Вагонетка должна перевезти груз в кратчайший срок с одного места на другое, удаленное от первого на расстояние $L$. Она может увеличивать или уменьшать свою скорость только с одинаковым по модулю ускорением, равным $a$. Кроме того, она может двигаться с постоянной скоростью. Какой наибольшей по модулю скорости должна достигнуть вагонетка, чтобы было выполнено указанное выше условие?

Теперь сама проблема не с получением ответа, так как я ясно себе представляю треугольник на графике зависимости $v$ от $t$. Наивные соображения говорят, что в вершине этого треугольника и будет $v_{\max}$, а площадь его должна быть равна $L$. А саму $v_{\max}$ я нашел из соотношения $v_{\max}^2=v_{0}^2+2a\frac{L}{2} \to v_{\max}=\sqrt{aL}$

Проблема в другом: я не могу оформить эту задачу. Понятия не имею с чего начать. Почему, допустим, не следует рассматривать случай, когда вагонетка может иметь постоянную скорость на каком-нибудь участке? Как это доказать? У меня всегда были и будут проблемы с оформлением и доказательствами, т.к. самоучка (к тому же несостоявшийся). В общем... уважаемые! Прошу помощи - сам не управлюсь.

[gris]

По-моему, там в зависимости от соотношения расстояния и ускорения может быть и трапеция.

[ewert]

sly в сообщении #818534 писал(а):

не могу оформить эту задачу.

Переформулируйте её так: какой должна быть зависимость скорости от времени, чтобы за заданное время пройти наибольшее расстояние. Т.е. чтобы площадь под графиком скорости оказалась максимальной. Этот график состоит из горизонтальных, линейно возрастающих и линейно убывающих участков, причём величины наклонов этих участков фиксированы (количество участков можно считать конечным, т.к. задача всё-таки по физике, а не по математике). Тогда очевидно, что при наличии хотя бы одного горизонтального участка максимума не будет -- этот участок графика всегда можно так или иначе сдвинуть вверх.

[gris]

Интересно, как вы будете разгружать вагонетку, на скорости света прибывающую в пункт назначения .
Скорости на краях должны быть нулевые, мне каца.
А, время-то не задано. Тогда треугольник .

[Утундрий]

Имеем
$\[ \begin{gathered} \dot x = v \hfill \\ \dot v = af \hfill \\ \left. x \right|_{1,2} = \left. v \right|_{1,2} = 0 \hfill \\ a > 0 \hfill \\ f \in \left\{ { - 1,1} \right\} \hfill \\ \int\limits_1^2 {dt} \to \min \hfill \\ \end{gathered} \] $
Положим
$\[ \begin{gathered} \dot x_0 = 1 \hfill \\ H = \dot x\psi _x + \dot v\psi _v + \psi _0 = v\psi _x + af\psi _v + \psi _0 \hfill \\ \end{gathered} \] $
Откуда
$\[ \begin{gathered} \mathop {\max }\limits_f H \to \sup \Leftrightarrow f = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} { + 1} & {\psi _v > 0} \\ { - 1} & {\psi _v < 0} \\ \end{array} } \right. \hfill \\ \dot \psi _x = - H_{,x} = 0 \hfill \\ \dot \psi _v = - H_{,v} = \psi _x \hfill \\ \dot \psi _0 = - H_{,x_0 } = 0 \hfill \\ \end{gathered} \] $
И, наконец
$\[ \psi _v = C_1 + C_2 t \] $
Так что всё верно - оптимальное управление не может иметь более одного переключения.

[Утундрий]

P.S. $x_2$, конечно, не нуль, но это не важно, а править лень.

[ewert]

Ну если уж совсем формально доказывать. Считаем очевидным, что минимизация времени при фиксированном пути равносильна максимизации пути при фиксированном времени. Тогда задача сводится к следующей: найти $v\in W_{\infty}^1[0;T]$ такую, что

$\begin{cases}v(0)=0,\ v(T)=0;\\ -a\leqslant v'(t)\leqslant a\ (\forall t\in[0;T]);\\ \int\limits_0^Tv(t)\,dt=\max.\end{cases}$

Из условий $v(0)=0,\ v'(t)\leqslant a$ следует, что $v(t)\leqslant at;$ аналогично, из $v(T)=0,\ v'(t)\geqslant -a$ следует $v(t)\leqslant a(T-t).$ В совокупности это означает, что $v(t)\leqslant v_0(t)\ (\forall t),$ где $v_0(t)=\begin{cases}at&\ \text{при}\ t<T/2,\\ a(T-t)&\ \text{при}\ t>T/2.\end{cases}$ А поскольку функция $v_0(t)$ всем требованиям удовлетворяет (и, более того, удовлетворяет требованиям исходной задачи) -- именно на ней максимум интеграла и достигается, вот и всё.