Доказать соотношение, используя определение предела

[semigradsky]

Используя определение предела нужно доказать, что:
$\lim\limits_{x\to 1} \arctg(x) = \pi/4$

Получается, что мне нужно найти такое $\delta$, чтобы из выполнения неравенства:
$0 < |x - 1| \leqslant \delta$ (1)
вытекала истинность неравенства:
$|\arctg(x) - \pi/4| \leqslant \varepsilon$ (2)
где $\varepsilon> 0$ - любое число

Насколько смотрел примеры решения подобных задач, там все сводится к преобразованиям в неравенстве (2), чтобы в него можно было, выбрав какой-нибудь $\delta$, "вставить" неравенство (1). Но как-то не получается.

Сделал:
$|\arctg(x) - \pi/4| = |\arctg(x) - \arctg(1)| = |\arctg(\frac{x-1}{x+1})|$
Что дальше — не знаю.

[patzer2097]

надо вспомнить доказательство стандартного неравенства $x<\tan x$ при $x\in(0,\pi/2)$ и написать $|\arctg(\frac{x-1}{x+1})|<\left|\frac{x-1}{x+1}\right|<\frac{\delta}{1-\delta}\,\,\,\,\,$

[Aritaborian]

patzer2097 в сообщении #818530 писал(а):

$\tan x$

$\tg x$.