Дифур распадов.

[chem_victory]

Доброго времени суток, уважаемые.
Имеем радиоактивные материнское и дочернее ядра.
Запишем два уравнения:

$dN_{1}=-\lambda _{1}N_{1}dt$ (1)

$dN_{2}=\lambda _{1}N_{1}dt-\lambda _{2}N_{2}dt$ (2)

Из первого:
$N_{1}=N_{10}}e^{-\lambda_{1}t}$
Где, $N_{10}$ - кол-во материнских ядер в начальный момент.
Подставляем во 2 ур:

$\frac{dN_{2}}{dt}+\lambda_{2}N_{2}=\lambda_{1}N_{10}e^{-\lambda_{1}t}$ (3)

Общее решение:

$N_{2}_{gen}=Ae^{-\lambda_{2}t}+B$

Частное ищем в виде $N_{2}^{*}=Ce^{-\lambda_{1}t}$
Подставляя в (3), находим: $C=\frac{\lambda_{1}N_{10}}{\lambda_{2}-\lambda{1}}$

$N_{2}^{*}=\frac{\lambda_{1}N_{10}}{\lambda_{2}-\lambda{1}}e^{-\lambda_{1}t}$

А значит:
$N_{2}=N_{2}_{gen}+N_{2}^{*}=Ae^{-\lambda_{2}t}+B+\frac{\lambda_{1}N_{10}}{\lambda_{2}-\lambda{1}}e^{-\lambda_{1}t}$


$N_{2}(0)=N_{20}=A+B+\frac{\lambda_{1}N_{10}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}$

В итоге:
$N_{2}=N_{20}e^{-\lambda_{2}t}+B(1-e^{-\lambda_{2}t})+\frac{\lambda_{1}N_{10}}{\lambda_{2}-\lambda{1}}(e^{-\lambda_{1}t}-e^{-\lambda_{2}t})$

правильный ответ:
$N_{2}=N_{20}e^{-\lambda_{2}t}+\frac{\lambda_{1}N_{10}}{\lambda_{2}-\lambda{1}}(e^{-\lambda_{1}t}+e^{-\lambda_{2}t})$

Заранее благодарен.

[ИСН]

Начальное условие второго диффура у Вас не вызывает ужаса?

[chem_victory]

ИСН в сообщении #818366 писал(а):

Начальное условие второго диффура у Вас не вызывает ужаса?

Исправил. Как теперь определить B?

[svv]

Когда Вы впервые написали $B$ в формуле, названной «общее решение», это было общее решение какого уравнения?

[chem_victory]

svv в сообщении #818388 писал(а):

Когда Вы впервые написали $B$ в формуле, названной «общее решение», это было общее решение какого уравнения?

Решение уравнения под номером 3, где правая часть положена нулю.

Ах, да там ведь нет свободной константы, она равна нулю, т.е B=0.

[svv]

Вы это уравнение преобразовали к виду (3).
Попробуйте подставить общее решение в уравнение (3).
У меня сразу две неприятности: не исчезает $B$ и никак не получается правая часть.
А у Вас всё в порядке?

-- Чт янв 23, 2014 18:41:45 --

chem_victory в сообщении #818389 писал(а):

Решение уравнения под номером 3, где правая часть положена нулю.

Т.е. это общее решение однородного уравнения. Всё равно подставьте.

[chem_victory]

Разобрался, всем большое спасибо!
Там действительно нету никакого B, т.е в формулах выше если положить его равным 0,
и исправить знак в "правильном ответе", ибо там всё-таки разность экспонент.
Получится действительно правильный ответ.
$N_{2}=N_{20}e^{-\lambda_{2}t}+\frac{\lambda_{1}N_{10}}{\lambda_{2}-\lambda{1}}(e^{-\lambda_{1}t}-e^{-\lambda_{2}t})$