Задача на движение простая

[gris]

Вот так делаешь гуленьки по изящным местам и вдруг — бац — лежит задача по физике. Ну, натурально, начинаешь её решать, а потом и призадумаешься: а в чём же соль?
Да вот задача: До какой минимальной скорости должен разогнаться по ровной дороге автомобиль, чтобы совершить мёртвую петлю радиусом $R$.

Вроде бы можно предположить, что перед петлёй мотор выключается и скорость находится из условия равенства нулю веса машины в верхней точке путём сравнения кинетических и потенциальных энергий. Но так ли? А если мотор не выключается? Будут ли колёса иметь сцепление с полотном в вехней части петли?

[svv]

gris в сообщении #818330 писал(а):

Будут ли колёса иметь сцепление с полотном в вехней части петли?

При некотором центростремительном ускорении — ещё лучшее, чем на ровном участке. Но Вы же хотите невесомости...

gris в сообщении #818330 писал(а):

а в чём же соль?

Вот! Зимой не забывайте посыпать дорогу солью.

[Munin]

Учтите такой вариант: вес машины в верхней точке нуль, после чего она падает по параболе, отсоединяясь от дороги :-)

gris в сообщении #818330 писал(а):

Будут ли колёса иметь сцепление с полотном в вехней части петли?

При ненулевом давлении машины на полотно - будут. Когда давление станет нулём, то и сила трения станет нулём: $F_{\text{тр }\max}=\mu N.$

[gris]

Конечно, задача предположена для школьников, и в ней приняты все "пренебрежения". В условиях только $R$. Я предположил, что решение такое:

$\dfrac {mv_1^2}2=\dfrac {mv_0^2}2-mg\cdot2R$ — кинетическая энергия машины в верхней точке и

$\dfrac {mv_1^2}R=mg$ — равенство нулю веса машины в верхней точке. Отсюда

$ Rg=v_0^2-4gR$, то есть $v_0=\sqrt {5gR}$

Скорость минимальна в смысле инфимума, конечно.

Годится ли это решение?

+++ Спасибо за поправку, там действительно $5$. Не пойму, как вылезда двойка?

[Munin]

Ну, правильно. А теперь проверьте на то, что я сказал. А то вдруг машина всё-таки оторвётся и разобьётся?

[nikvic]

Не, там пятёрочка вместо шестёрки.

[exitone]

gris в сообщении #818387 писал(а):

$\dfrac {mv_1^2}R=mg$ — равенство нулю веса машины в верхней точке. Отсюда

проекцию $mg$ на нормаль надо.

[svv]

Так в верхней точке нормаль — вертикаль.
Хотя еще боковой уклон может быть. Но зачем он нам?

[exitone]

А ну да, я перепутал с задачей "найти на какой высоте оторвется"

[miflin]

svv в сообщении #818477 писал(а):

Хотя еще боковой уклон может быть. Но зачем он нам?

На всякий случай.
Минимально необходимая скорость (нулевой вес в высшей точке) должна обеспечивать положительное
значение веса в остальных точках. Это предполагается по умолчанию, но, строго говоря, это нужно доказать.
Анализ показывает, что это действительно так. И тогда можно не опасаться, что после прохождения высшей
точки автомобиль оторвется от поверхности. В силу симметрии картинки.

В высшей точке выполняется $V_1=\sqrt{gR}$ (в решении действительно, как сказал nikvic,
пятерка вместо шестерки), и если убрать связь, то автомобиль полетит по параболе, имеющей в вершине,
как показывает расчет, радиус кривизны, равный радиусу окружности. А поскольку радиус кривизны параболы
увеличивается по мере удаления от вершины, то она является как бы объемлющей для окружности,
что, опять как бы, геометрически иллюстрирует отсутствие срыва.

[EtCetera]

miflin в сообщении #818484 писал(а):

Это предполагается по умолчанию, но, строго говоря, это нужно доказать.

Доказательство элементарно. Радиус кривизны параболы минимален в верхней точке. Раз в ней автомобиль еще не "падает", то и нигде не должен падать.

[phys]

(Оффтоп)

ааааа, А я чето не понял как так он по ровной дороге едет и делает мертвую петлю

[Yadryara]

gris в сообщении #818330 писал(а):

Вот так делаешь гуленьки по изящным местам и вдруг — бац — лежит задача по физике.

Предположу, что Вы обнаружили игрушечную машинку, лежащую вверх колёсами в барабане стиральной машинки.

[gris]

Спасибо за подсказки.
Yadryara, Вы правы в том, что задача не просто так возникла В подражание Вам и VALу я предпослал тексту обстоятельства её увидания. Изящное место — музей изящных искусств, ныне Пушкинский музей. Бац — это моё удивление. Лежит в прямом смысле под стеклом в качестве экспоната — задания для школьников, написанного много лет назад рукой автора, математика по образованию, между прочим, с отличием закончившего физмат Ростовского универа. На него намекает "же соль" .

Пардон за шалости, но я на самом деле никак не могу пройти мимо появления в обыденной жизни математических артефактов. То знак интеграла привидится, то чуть ли не теорема о биссектрисе на фронтоне здания

[DimaM]

gris в сообщении #818387 писал(а):

Скорость минимальна в смысле инфимума, конечно.

Годится ли это решение?

Это решение для движения по инерции. Если колеса толкают вперед, потребная начальная скорость будет меньше.