непрерывность функции в любой точке по Коши

[gris]

По-моему, Вы пытаетесь найти оценку, не зависящую от $a$. Но это возможно только для функций, равномерно непрерывных на множестве. А Ваша функция таковой не является на всей прямой. Так что надо получать $\delta(a,\varepsilon)$
У Вас было правильная мысль, что $x+a-1=x-a+2a-1$. Вот её и развивайте.

[provincialka]

Показываю для $a=2$. Имеем $f(x)-f(2)=4(x-2)(x+2-1)$. Модуль этого выражения не превосходит $4|x-2|\cdot |x+1|$. Будем рассматривать $\delta$ только меньше 1. Тогда $1<x<3, 2<x+1<4, |x+1|<4$. Теперь мы можем оценить модуль приращения, он не больше $4\delta \cdot 4=16\delta $. Осталось добиться того, что эта величина была меньше $\varepsilon $.

[sasha_vertreter]

gris в сообщении #817577 писал(а):

По-моему, Вы пытаетесь найти оценку, не зависящую от $a$. Но это возможно только для функций, равномерно непрерывных на множестве. А Ваша функция таковой не является на всей прямой. Так что надо получать $\delta(a,\varepsilon)$
У Вас было правильная мысль, что $x+a-1=x-a+2a-1$. Вот её и развивайте.

спасибо! вот собственно вот этого я старался избежать, а напрасно $\delta(a,\varepsilon)$.

provincialka в сообщении #817581 писал(а):

Показываю для $a=2$. Имеем $f(x)-f(2)=4(x-2)(x+2-1)$. Модуль этого выражения не превосходит $4|x-2|\cdot |x+1|$. Будем рассматривать $\delta$ только меньше 1. Тогда $1<x<3, 2<x+1<4, |x+1|<4$. Теперь мы можем оценить модуль приращения, он не больше $4\delta \cdot 4=16\delta $. Осталось добиться того, что эта величина была меньше $\varepsilon $.

спасибо!

[sasha_vertreter]

gris в сообщении #817577 писал(а):

По-моему, Вы пытаетесь найти оценку, не зависящую от $a$. Но это возможно только для функций, равномерно непрерывных на множестве. А Ваша функция таковой не является на всей прямой. Так что надо получать $\delta(a,\varepsilon)$
У Вас было правильная мысль, что $x+a-1=x-a+2a-1$. Вот её и развивайте.

можно я вот так формально продолжу (пока без всяких оцениваний): имея $|x-a|<\delta$ можно написать
$|f(x)-f(a)|<\varepsilon \Leftrightarrow|(4x^2-4x+3)-(4a^2-4a+3)|=|4(x-a)(x+a-1)|=4|(x-a)((x-a)+(2a-1))|\leq4|x-a|(|x-a|+|2a-1|)<4\delta(\delta+|2a-1|)<\varepsilon$

верно?

[provincialka]

Так можно. Дальше?

[sasha_vertreter]

а дальше мы собственно и получаем зависимость $\delta(\varepsilon,a)$...если вести цепочку формально, то получается какое-то жуткое выражение (из-за квадратного неравенства относительно $\delta$)...

$0<\delta \leq \frac{\sqrt{(|2a-1|^2+\varepsilon)}-|2a-1|}{2}$

[provincialka]

Покажите формулу на всякий случай. Подсказка: решать квадратное уравнение не обязательно.

[sasha_vertreter]

provincialka в сообщении #818049 писал(а):

Покажите формулу на всякий случай. Подсказка: решать квадратное уравнение не обязательно.

аа... один момент

[sasha_vertreter]

в общем я нашел, что $\delta = \frac{\sqrt{\varepsilon}}{2}$, когда $a\leq \frac{1}{2}$, но для $a>\frac{1}{2}$ ничего кроме как
$\delta = \frac{\sqrt{(2a-1)^2+\varepsilon}-(2a-1)}{2}$ не вижу...

[provincialka]

А вы посмотрите мой пример для $a=2$, там никаких корней. Подсказка. В последнем сомножителе оцените $\delta $ числом. Например, 1.

[sasha_vertreter]

provincialka в сообщении #818090 писал(а):

А вы посмотрите мой пример для $a=2$, там никаких корней. Подсказка. В последнем сомножителе оцените $\delta $ числом. Например, 1.

и тогда у меня получается $\delta =\frac{\varepsilon}{8a}$...

-- Ср янв 22, 2014 20:51:57 --

provincialka в сообщении #818090 писал(а):

А вы посмотрите мой пример для $a=2$, там никаких корней. Подсказка. В последнем сомножителе оцените $\delta $ числом. Например, 1.

но я так понимаю $\delta = \frac{\sqrt{\varepsilon}}{2}$ при $a\leq\frac{1}{2}$ -? скажем при $a=-2$?

[provincialka]

Откуда? Это не подходит при $a=0$. Последний сомножитель не превосходит $1+|2a-1|$ при достаточно малых $\delta $.

[sasha_vertreter]

нда... идти мне скамейки делать:

$\delta=\frac{\varepsilon}{4(1+|2a-1|)}$ -?

[provincialka]

Ура! Верно. Разве что для полного блеска надо взять минимум этой величины и 1.

По ходу дела мне все время хотелось отослать вас в какому-нибудь учебнику, где доказывается, скажем, непрерывность $x^2$. Но подумала, что лучше вам самому дойти до ответа. Считайте, что получили боевое крещение.

[sasha_vertreter]

provincialka в сообщении #818106 писал(а):

Ура! Верно. По ходу дела мне все время хотелось отослать вас в какому-нибудь учебнику, где доказывается, скажем, непрерывность $x^2$. Но подумала, что лучше вам самому дойти до ответа. Считайте, что получили боевое крещение.

да, спасибо огромное!
конечно стыдно тааак тормозить, обычно все не настолько плохо, но мне действительно было важно решить самому ( в смысле "самому" =).