Дифракция относительно векторного и скалярного потенциала

[evgeniy]

Уравнения Максвелла можно считать относительно напряженности поля. Правда задача рассеяния на сфере считается относительно введенных потенциалов. Но в результате определяются напряженности. Осуществляется попытка считать задачу относительно векторного и скалярного потенциала в случае диэлектрического тела с целью описать свойства скалярного и векторного потенциала, которые используются в квантовой механике. Оказывается, что калибровочная функция удовлетворяет тому же волновому уравнению. В частности интересует вопрос, единственно ли решение задачи дифракции в векторных и скалярных потенциалов. В силу определения этих величин с точностью до произвольного градиента, решение задачи дифракции должно быть не единственным. Предварительные прикидки говорят о единственности решения задачи дифракции, но возможны ошибки в вычислениях и поэтому вопрос о единственности решения задачи дифракции относительно скалярного и векторного потенциала остается открытым, по крайней мере для автора сообщения. Представляет интерес так же считать задачу дифракции относительно вектора Умова-Пойнтинга и плотности энергии, как четвертой координаты, с целью доказательства продольности электромагнитных волн.
Запишем уравнения Максвелла в однородной среде, т.е. считая константами диэлектрическую и магнитную проницаемость
$\operatorname{rot} \vec H=\frac{\partial \varepsilon \vec E}{c\partial t}+\frac{4 \pi \vec j}{c};\eqno(1a)\operatorname{div} \varepsilon \vec E=4 \pi \rho \eqno(1b) $
$\operatorname{rot}\vec E=-\frac{\partial \mu \vec H}{c\partial t};\eqno(1c)\operatorname{div} \mu \vec H=0 \eqno(1d) $
Заменяя векторы напряженности поля на скалярный и векторный потенциал, по формуле,
$\vec E=-\operatorname{grad} \varphi/\varepsilon -\frac{\mu}{c}\frac{\partial \vec A}{\partial t};\vec H=\operatorname{rot} \vec A$
Подставляя значения напряженностей поля в уравнения Максвелла (1.с), (1.б), получим
$ (\operatorname{rot}\operatorname{rot} \vec A)_i=\operatorname{grad} \operatorname{div} \vec A-\Delta \vec A=-\frac{\varepsilon \mu}{c^2}\frac{\partial ^2 \vec A}{\partial t^2}-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial x_i} (\frac{\partial \varphi}{\partial t})+\frac{4 \pi \vec j}{c}$
$\operatorname{div}(\operatorname{grad} \varphi/\varepsilon)+\frac{\mu}{c}\frac{\partial \vec A}{\partial t}=-4\pi \rho/\varepsilon$
Откуда получим уравнения
$\Delta \vec A -\frac{\varepsilon \mu}{c^2}\frac{\partial^2 \vec A}{\partial t^2}=-\frac{4 \pi \vec j}{c}+\operatorname{grad}(\operatorname{div} \vec A+\frac{\partial \varphi}{c \partial t})$
$\Delta \varphi -\frac{\varepsilon \mu}{c^2}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}+\frac{\varepsilon \mu}{c}\frac{\partial }{\partial t}(\operatorname{div} \vec A+\frac{\partial \varphi}{c \partial t})=-4 \pi \rho$
Счиатем, что справедлива калибровка Лоренца, т.е. $\operatorname{div} \vec A+\frac{\partial \varphi}{c \partial t}=0$ .
Эта калибровка возможна, так как добавочная функция определится из формул $\vec A’=\vec A+\operatorname{grad} \psi/\varepsilon;\varphi’=\varphi-\mu\frac{\partial \psi}{c \partial t}$ и должна удовлетворять
$\Delta \psi -\frac{\varepsilon \mu}{c^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}=0$
А основная функция $\varphi, \vec A$ удовлетворяет уравнению
$\Delta \vec A -\frac{\varepsilon \mu}{c^2}\frac{\partial^2 \vec A}{\partial t^2}=-\frac{4 \pi \vec j}{c}$
$\Delta \varphi -\frac{\varepsilon \mu}{c^2}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}=-4 \pi \rho$
В следующем сообщении я покажу, что решение задачи дифракции в потенциалах имеет единственное решение.

[evgeniy]

Решим задачу дифракции относительно скалярного и векторного потенциала. Получается, что число граничных условий и неизвестных коэффициентов совпадает, т.е. решение задачи дифракции однозначно.
Напряженности в воздухе свободном от зарядов и токов с постоянными свойствами, сходными свойствам вакуума, определится из уравнений
$\vec E_0=- \operatorname{grad} \varphi_0-\frac{\partial A_0}{c \partial t};H_0= \operatorname{rot}A_0$
Так как волну в виде напряженностей поля, скалярного и векторного потенциала в свободном пространстве можно представить в виде суммы комплексных ортогональных экспонент. Рассмотрим одну из этих экспонент с n=1
$\vec A_0=\sum_n \vec a_n \exp[i n(\sum_{l=1}^3 k_l x_l-\omega t)] $
$\varphi_0=\sum_n b_n \exp[i n(\sum_{l=1}^3 k_l x_l-\omega t)] $
Считая поле плоской волной удовлетворяющим калибровке Лоренца, получим систему уравнений, определяющих напряженность поля (считаем потенциалы безразмерными, тогда напряженности имеют размерность обратной длины)
$E_{0l}=i a_l\frac{\omega}{c}-i bk_l=i a_l k-i b k_l$
$H_{0l}=i e_{lpq}k_p a_q/k\eqno(1) $
$\sum_{l=1}^3 a_l k_l=bk$
причем имеются условия
$\sum_{l=1}^3 k_l E_{0l}=0; \sum_{l=1}^3 k_l H_{0l}=0;\alpha_l=k_l/k$

Умножим первое уравнение (1) скалярно на величину $a_l$ и просуммируем по индексу. Второе уравнение (1) умножим векторно на величину $k_k $, и воспользуемся второй формулой (1), получим
$\sum_{l=1}^3 a_l E_{0l}=\sum_{l=1}^3 i a_l^2 k-i b^2 k$
$\sum_{k,l=1}^3 e_{ikl}k_k H_{0l}=i \sum_{k,l,p,q=1}^3 (\delta_{ip}\delta_{kq}-\delta_{iq}\delta_{kp})k_k k_p a_q=(i \alpha_i \sum_{q=1}^3 a_q \alpha_q - i a_i \sum_{p=1}^3\alpha_p^2)k^2$
$\sum_{l=1}^3 a_l k_l=bk$

Откуда получаем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными $a_i,b$.
$ (a_i-b\alpha_i)k=-i \sum_{k,l=1}^3 e_{ikl}\alpha_k H_{0l}=-iE_{0i}$
$ \sum_{l=1}^3 (a_l^2-b^2)k=-i\sum_{l=1}^3 a_l E_{0l}$
Из первого уравнения определяем величину $a_i$ и подставляем во второе уравнение, получаем уравнение по определению величины b, связанной с скалярным потенциалом
$\sum_{l=1}^2 (b\alpha-_l- i E_{0l}/k)^2-b^2=-i b \sum_{l=1}^3 \alpha_l E_{0l}-E_0^2/k^2$
Откуда имеем
$ i b\sum_{l=1}^3 \alpha_l E_{0l}=0$
Откуда получаем $\sum_{l=1}^3 \alpha_l E_{0l}=0$ , что для плоской волны справедливо, откуда имеем b произвольно, а величина $a_l=b \alpha_l-i E_{0l}/k$.
При 4 коэффициентах отраженной волны и 4 коэффициентов прошедшей и одном коэффициенте в падающей волне, определяющим падающий потенциал. Итого необходимо 9 граничных условий. Из них имеется 4 тангенциальных и два нормальных граничных условий, необходимо добавить 3 граничных условия. Для справедливости перехода от уравнений Максвелла к уравнениям в потенциалах должно быть справедливо следующие соотношения
$\operatorname{div} \varepsilon \vec E |_-^+=0;\varepsilon \operatorname{div} \operatorname{grad} \varphi/\varepsilon|_-^+=0; $
$\varepsilon \operatorname{grad}(\frac{\partial \varphi}{\varepsilon \partial t}) |_-^+=0$
Первое из этих соотношений сводится к непрерывности нормальных компонент индукции. Второе и третье соотношение сводятся к непрерывности градиента на границе области
$\operatorname{grad} \varphi |_-^+=0$
Т.е. получены три дополнительных граничных условий. Итого получается 9 соотношений, при 9 неизвестных коэффициентов. Т.е. скалярные и векторные потенциалы определяются однозначно в случае, если система линейных уравнений по определению неизвестных коэффициентов имеет не нулевой определитель. В случае равенства нулю определителя определятся резонансные частоты.