2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Решение лимита с арксинусом
Сообщение22.01.2014, 01:27 
Добрый день. Подскажите, правильно ли я решаю такой лимит:
$$\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{\arctg (x)}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$$
Вот как я его решал:
    Использовал свойство $a^x=e^{x\cdot \ln a}$;
    Раскрыл неопределенность вида 0\0 с помощью правила Лопиталя;
    Получил $e^{\infty}$

$$\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{\arctg (x)}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}=\exp\left(\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} \cdot \ln \left( \frac{\arctg (x)}{x}\right)\right)=\exp \left(\lim_{x \to 0}\frac{\ln \left( \frac{\arctg (x)}{x}\right)}{x^2}\right)=\left(\frac{0}{0}\right)=$$=\exp \left(\lim_{x \to 0}\frac{\left( \frac{x}{\arctg (x)\right)}\cdot \frac{1}{1+x^2}}{2x}\right)=\exp \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{1+0}}{0}\right)=\exp \left(\frac{1}{0}\right) = \exp \left(\infty\right) = \infty $$

И в последней строчке решения я использовал эквивалентность $\arctg(x)=x, при $x \to 0$.

 
 
 
 Re: Решение лимита с арксинусом
Сообщение22.01.2014, 01:34 
Аватара пользователя
Ответ неправильный. По-моему, вы напутали, вычисляя производную.

 
 
 
 Re: Решение лимита с арксинусом
Сообщение22.01.2014, 01:45 
Производная числителя, как заметил Aritaborian, неудачная.
А вообще лучше сразу актангенс в ряд Маклорена и ответ выписывать.

 
 
 
 Re: Решение лимита с арксинусом
Сообщение22.01.2014, 05:02 
Аватара пользователя
Можно и без Лопиталя избавиться от логарифма. Воспользоваться тем, что $\ln y\sim y-1,y\to1$. А вот тут пригодится Лопиталь или Тейлор. Впрочем, можно с самого начала обойтись без логарифма, воспользовавшись вторым замечательным пределом.

-- 22.01.2014, 06:34 --

Кстати, почему тема называется "Решить лимит с арккосинусом" а не, скажем, "Найти предел с арктангенсом" ? :wink:

 
 
 
 Re: Решение лимита с арксинусом
Сообщение22.01.2014, 05:40 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #817743 писал(а):
Кстати, почему тема называется "Решить лимит с арккосинусом" а не, скажем, "Найти предел с арктангенсом" ?

А она и не называется "Решить лимит с арккосинусом" - она называется "Решение лимита с арксинусом" :-)

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group