2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Сумма трёх значений функции
Сообщение22.01.2014, 01:24 
Аватара пользователя
Функция $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ такова, что при любом вещественном $x$ верно, что $$f(f(x))=x^3$$
Чему равно $$f(0)+f(1)+f(-1)\quad\text{?}$$

Попытка решения:

Ответ: 0.

Пусть $f(0)=a,\quad f(1)=b,\quad f(-1)=c$
Тогда $f(a)=0,\quad f(b)=1,\quad f(c)=-1$
Тогда $f(f(a))=a,\quad f(f(b))=b,\quad f(f(c))=c$
Но тогда $a, b, c\in\{0, 1, -1\}$
Теперь, пусть среди значений нашей функции в точках 0, 1 и -1 есть два одинаковых. Без ограничения общности предположим $f(0)=f(1)=0$
Тогда $f(f(0))=f(f(1))=f(0)=0^3=1^3$ -- противоречие.
Значит, значения нашей функции в точках 0, 1 и -1 равны 0, 1 и -1, и не важно, кто из них кто.
А отсюда немедленно следует ответ на задачу.

Верно ли моё решение и существует ли указанная в задаче функция?

 
 
 
 Re: Сумма трёх значений функции
Сообщение22.01.2014, 02:16 
Аватара пользователя
Цитата:
существует ли указанная в задаче функция?
$f(f(x))=x^3 \ \to \  (?$ :roll: $?) \ \to \  f(x)=x^\alpha \ \to \ f(f(x))=x^{\alpha^2}\  \to \ f(x)=x^{\sqrt{3}}$

Для отрицательных $x $ есть проблема.

 
 
 
 Re: Сумма трёх значений функции
Сообщение22.01.2014, 02:17 
Аватара пользователя
Dan B-Yallay в сообщении #817725 писал(а):
Для отрицательных $x $ есть проблема.

Ну дык я ж поэтому и спрашиваю ж :wink:

 
 
 
 Re: Сумма трёх значений функции
Сообщение22.01.2014, 02:19 
Аватара пользователя
Dan B-Yallay в сообщении #817725 писал(а):
Для отрицательных $x $ есть проблема.


Так добавим минус отрицательным

 
 
 
 Re: Сумма трёх значений функции
Сообщение22.01.2014, 02:20 
Аватара пользователя
BatMan в сообщении #817727 писал(а):
Так добавим минус отрицательным
Попробуйте ...

 
 
 
 Re: Сумма трёх значений функции
Сообщение22.01.2014, 02:21 
Аватара пользователя
BatMan в сообщении #817727 писал(а):
Так добавим минус отрицательным

Сколько будет $$-(-1)^{\sqrt 3}\text{?}$$

 
 
 
 Re: Сумма трёх значений функции
Сообщение22.01.2014, 02:22 
Аватара пользователя
кто-ж его знает
$ \ f(x)=|x|^{\sqrt{3}} sgn(x)$$
подойдет?

 
 
 
 Re: Сумма трёх значений функции
Сообщение22.01.2014, 02:23 
Аватара пользователя
BatMan
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 8sqrt+3%29
Не вещественное, однако :-(

 
 
 
 Re: Сумма трёх значений функции
Сообщение22.01.2014, 02:27 
Аватара пользователя
$f(x)=\begin{cases}x^{\sqrt{3}}, x \geq 0\\
-|x|^{\sqrt{3}}, x <0 \end{cases}$

??

 
 
 
 Re: Сумма трёх значений функции
Сообщение22.01.2014, 02:28 
Аватара пользователя
BatMan в сообщении #817730 писал(а):
кто-ж его знает
$ \ f(x)=|x|^{\sqrt{3}} sgn(x)$$
подойдет?

Нет.

 
 
 
 Re: Сумма трёх значений функции
Сообщение22.01.2014, 02:29 
Аватара пользователя
А что не так?

 
 
 
 Re: Сумма трёх значений функции
Сообщение22.01.2014, 02:30 
Аватара пользователя
Dan B-Yallay в сообщении #817734 писал(а):
А что не так?

Пардон, Вы правы.

-- 22.01.2014, 02:31 --

И Вы, и BatMan.

-- 22.01.2014, 02:33 --

Спасибо!

-- 22.01.2014, 02:33 --

Так а решение-то верное у меня?

 
 
 
 Re: Сумма трёх значений функции
Сообщение22.01.2014, 02:41 
Аватара пользователя
подойдет и $-\sqrt{3}$ в степени, но тогда $f(0)$ не определена...

 
 
 
 Re: Сумма трёх значений функции
Сообщение22.01.2014, 03:10 
Аватара пользователя
Ktina в сообщении #817735 писал(а):
Так а решение-то верное у меня?
По крайней мере для этой функции - да. :D

 
 
 
 Re: Сумма трёх значений функции
Сообщение22.01.2014, 11:03 
Corund в сообщении #817736 писал(а):
подойдет и $-\sqrt{3}$ в степени, но тогда $f(0)$ не определена...
а $f(0)=0$ можно положить :-)

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group