непрерывность функции в любой точке по Коши

[sasha_vertreter]

Добрый день

Помогите пожалуйста, я как-то очень туплю:

надо доказать по определению (Коши), что функция $f(x)=4x^2-4x+3$ непрерывна на ${R}$.

я понятно расписал $|4x^2-4x+3-4a^2+4a-3|=4|(x-a)\cdot(x+a-1)|<\varepsilon$ а дальше мысли нет совсем.

понятно $|x-a|<\delta$, но вот что делать с $|x+a-1|$ ?

Спасибо.

[provincialka]

Прикинуть, в каких пределах меняется эта величина при небольших $x-a$, например, не больше 1.

[sasha_vertreter]

я так понимаю, если $0<x-a<1$, то $2a-1<x+a-1<2a$...но все равно не вижу(

[provincialka]

Теперь оцените модуль этой разности. Если трудно в общем виде, попробуйте при конкретных $a$. Это даст верхнюю оценку приращения функции.

[sasha_vertreter]

Вы имеете ввиду модуль разности: $|x+a-1|$?

[provincialka]

Конечно. Тут такая ситуация. Не обязательно находить точное значение $\delta$. Оцените приращение сверху, и если эта оценка будет меньше $\varepsilon$, то приращение тем более будет меньше $\varepsilon $. Это достаточное условие.

[sasha_vertreter]

как я понял $|x+a-1|<\delta-1$ и следовательно я могу написать дальше $4|x-a||x+a-1|<4\delta\cdot(\delta-1)<\varepsilon$ ?

[provincialka]

sasha_vertreter в сообщении #817538 писал(а):

как я понял $|x+a-1|<\delta-1$

Нет, это не верно. И не надо вводить еще одно $\delta$, постарайтесь оставить оценку линейной.

[sasha_vertreter]

или вы имеет ввиду
$|x+a-1|<\frac{\varepsilon}{4\delta}<\varepsilon$. - так?

[provincialka]

Нет! Категорически не так! Ваша задача сделать как раз наоборот, найти оценку для $|x-a|$, "убрав" другие множители.
Давайте так. Упростим задачу, положим $a=1. Какой вид приобретет основное неравенство?

[sasha_vertreter]

$|x(x-1)|<\frac{\varepsilon}{4}$ - верно?

-- Вт янв 21, 2014 16:12:30 --

-- Вт янв 21, 2014 16:16:24 --

или так $|x-1|<\frac{\varepsilon}{4x}<\frac{\varepsilon}{4}$ -?

[provincialka]

Ну да. Обратите внимание, что $x$ находится где-то радом с 1. Например, от 0 до 2. Как можно оценить левую часть, зная это?

-- 21.01.2014, 20:18 --

Так, вы уже исправили. Откуда последнее неравенство?

-- 21.01.2014, 20:19 --

Нет. Не торопитесь.

[sasha_vertreter]

то есть так: $0<|x-1|<\frac{\varepsilon}{4|x|}<\frac{\varepsilon}{4}$ -?

[provincialka]

Вот откуда у вас последняя величина? Думаете, $x$ можно просто выкинуть? Если вы будете оценивать $\frac{\varepsilon }{4x}$, у вас получится бесконечность. Потому что мы считаем, что $x>0$. Это слишком грубая оценка.

[sasha_vertreter]

ой да конечно, бред же...

$0<|x-1|<\frac{\varepsilon}{4|x|}$...

-- Вт янв 21, 2014 16:35:05 --

-- Вт янв 21, 2014 16:42:33 --

я что-то фундаментально не понимаю наверно...