Вопросы по функану (спектры)

[Ivan0001]

1)
Имеется оператор: $ A_{k} (...x_{-n},...,x_{-1},x_{0},x_{1}...,x_{n}...) \to (...x_{-n-1},...,x_{-2},x_{-1},\frac{x_{0}}{k},...,x_{n}...)$
Рассмотрим уравнение $ (A_{k}-\lambda I) x=y $. Расписывая его по координатно получаем:
$ x_{1}=y_{2}+ \lambda y_{3}+ \lambda ^{2}y_{4}+...+ \lambda ^{n}y_{n+2}+... $
Как можно получить уравнение выше?
Через разложение резольвенты? Как именно получить это равенство?
2)
У $ A_{k} $ есть обратный, спектральные радиусы обоих равны единице. Говорят, что из симметрии спектров, спектры лежат в единичной окружности.
Где можно найти информацию о симметрии спектров (быть может, доказательство или формулировку этой симметрии)?
3)
Предельный оператор A такой:
$ A (...x_{-n},...,x_{-1},x_{0},x_{1}...,x_{n}...) \to (...x_{-n-1},...,x_{-2},x_{-1},0,...,x_{n}...)$
Исходя из чего, можно заметить, что любое число $ \lambda $ , модуль которого , строго меньше 1, является собственным значением этого оператора? Может быть это можно получить из 1), сказав, что правая часть $ (A_{k}-\lambda I) x=y $ не разрешима всегда ?
4)
Соответствующий собственный вектор выглядит так:
$ (... \lambda ... \lambda ^ {2}, \lambda ,1,0,...,0...) $
Почему он так выглядит?

[Ivan0001]

Изначально рассматриваю гильбертово пространство двусторонних последовательностей $(x_{n})_{n=- \infty }^{ \infty } $ со скалярным произведением $(x,y)=\sum\limits_{n=- \infty }^{ \infty } x_{n} y_{n}$

[SpBTimes]

Я из вашей записи не очень-то понял, как действует оператор

[Ivan0001]

оператор $A_{k}$ сдвигает все координаты на одну позицию вправо, а координату $x_{0}$ еще и умножает на $\frac {1}{k}$

[Ivan0001]

$A (...,x_{-n},...,x_{0},x_{1},x_{2},...,x_{n},...) \to (...,x_{-n-1},...,x_{-1},\frac {1}{k} x_{0},x_{1},...,x_{n-1},...)$

[ewert]

Ivan0001 в сообщении #815000 писал(а):

Говорят, что из симметрии спектров, спектры лежат в единичной окружности.
Где можно найти информацию о симметрии спектров

Не знаю, что в точности понимается под "симметрией спектров", но с точками спектра дело обстоит ровно так же, как и с собственными числами: если $\lambda$ принадлежит спектру $A$, то $\frac1{\lambda}$ принадлежит спектру $A^{-1}$. Т.е. если спектр исходного оператора лежит в единичном круге, то спектр обратного -- во внешности этого круга; отсюда и ответ.

Ivan0001 в сообщении #815000 писал(а):

Соответствующий собственный вектор выглядит так:
$ (... \lambda ... \lambda ^ {2}, \lambda ,1,0,...,0...) $
Почему он так выглядит?

Потому что тупая проверка показывает, что он воистину собственный: сдвиг такого вектора вправо и потом обнуление единички в точности равносильно умножению на лямбду.

[Ivan0001]

$A (... \lambda ^{n} ... \lambda ^ {2}, \lambda ,1,0,0...,0...) = (... \lambda ^{n+1} ... \lambda ^ {3}, \lambda ^ {2},\lambda,0,0...,0...) $
Видимо, собственный вектор подбирается, а я думал, что он как-то находится из замечания в 3)

-- 17.01.2014, 16:54 --

1) Просто приравнивая каждое уравнение, а затем складывая игрики с коэффициентами, как показано выше получаем $x_{1}$

[ewert]

Ivan0001 в сообщении #815652 писал(а):

Видимо, собственный вектор подбирается,

Вообще-то не подбирается. Поскольку это в основном оператор именно сдвига (с точностью до обнуления одной компоненты) -- требование собственности автоматически приводит к геометрической прогрессии. Ну а требование сходимости ряда не менее автоматически приводит к ограничению на собственное число.

[Ivan0001]

2)
Из уравнения $(Ax,y)=(x,A'y)$, где $A'$ сопряженный к $A$ оператор, нахожу $для y=(...y_{-n},...,y_{0},y_{1},y_{2},...,y_{n}...), что A'y=(...y_{-n+1},...,\frac {1}{k} y_{1},y_{2},y_{3},...,y_{n+1},...)$
В Кириллове-Гвишиани на 157 странице написано, что
Спектр сопряженного оператора $A'$ связан со спектром $A$ соотношением $\sigma (A')=\overline{\sigma (A)}=\{ \overline{\lambda} | \lambda \in \sigma (A)\}$
Быть может из этого как-то следует то, что

ewert в сообщении #815542 писал(а):

если $\lambda$ принадлежит спектру $A$, то $\frac1{\lambda}$ принадлежит спектру $A^{-1}$.

Может быть есть теорема на этот счет, подскажите, где искать.
Пространство гильбертово со скалярным произведением $(x,y)=\sum\limits_{n=- \infty }^{ \infty }x_{n} y_{n}$
3) Не понятно, почему, из того, что любое число строго меньше нормы оператора следует, что это число должно лежать в спектре. Искал, но не нашел утверждений связанных с этим.

[Ivan0001]

$A_{k} (...,x_{-n},...,x_{0},x_{1},x_{2},...,x_{n},...) \to (...,x_{-n+1},...,x_{-1},\frac {1}{k} x_{0},x_{1},...,x_{n-1},...)$
$A (...,x_{-n},...,x_{0},x_{1},x_{2},...,x_{n},...) \to (...,x_{-n+1},...,x_{-1},0,x_{1},...,x_{n-1},...)$

[Ivan0001]

2)
По этому адресу:
http://twt.mpei.ac.ru/math/LARB/Linoper ... 50000.html
сказано, что
Если матрица $A$ обратима, то все её собственные значения отличны от нуля, $ \lambda _{i} \ne 0$ при этом собственными значениями обратной матрицы $ A^{-1}$ являются числа $ (\lambda _{i}) ^{-1} $
а соответствующие собственные векторы совпадают.
3)
Думаю, что из того, что радиус оператора $A$ равен 1, следует то, что спектр лежит в замкнутом единичном круге. Зачем делать какие-то замечания относительно чисел меньше модуля 1, мне не понятно, и кажется, не нужным.

[Ivan0001]

2) $A_{k} x= \lambda x = y \Rightarrow \lambda ^{-1} y = x=A _{k}^{-1} y $
3) Из Колмагорова-Фомина:
Спектру принадлежат все собственные
значения оператора $A$, так как если $(A - \lambda I)x = 0$ при некотором
$x \ne 0$, то $(A - \lambda I)^{-1}$ не существует.

[ewert]

Ivan0001 в сообщении #817211 писал(а):

Думаю, что из того, что радиус оператора $A$ равен 1, следует то, что спектр лежит в замкнутом единичном круге.

Более того, это равносильные вещи (в том смысле, что спектральный радиус равен максиму модулей точек спектра). Все остальные вопросы и предложения не понял.