Алгебраическая поверхность? : Высшая алгебра fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Алгебраическая поверхность?
Сообщение19.01.2014, 10:36 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Подскажите, правильно ли следующее утверждение:
Дана некоторая двумерная поверхность $P$ в $\mathbb{R}^3$. Известно, что сечение этой поверхности любой плоскостью дает алгебраическую кривую порядка 2 (включая сюда и вырожденные случаи типа параллельных прямых и тд). Тогда $P$ является алгебраической поверхностью порядка 2.

Сердцем чувствую, что это правда, но умом доказать не могу, увы.

Если это все-таки правда, то можно по идее обобщить утверждение на произвольное количество измерений и на произвольный порядок сечений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая поверхность?
Сообщение19.01.2014, 14:17 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Ну вот пусть условия для $P$ верны, $P$ задается уравнением $F(x,y,z)=0$. Рассечем $P$ плоскостями $x=0, y=0, z=0$: - получим, что $F(x,y,0),F(x,0,z),F(0,y,z)$ - многочлены общей степени 2. Отсюда вроде бы следует, что $F(x,y,z)$ - многочлен. Остальное вроде понятно. Или надо еще более формально? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая поверхность?
Сообщение19.01.2014, 14:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18004
Москва
Sonic86 в сообщении #816536 писал(а):
$F(x,y,0),F(x,0,z),F(0,y,z)$ - многочлены общей степени 2. Отсюда вроде бы следует, что $F(x,y,z)$ - многочлен.
Никак не следует. Мало ли что может быть за пределами этих трёх плоскостей.
Даже если $F(x,y,z_0)$, $F(x,y_0,z)$ и $F(x_0,y,z)$ — многочлены второй степени для всех $x_0$, $y_0$ и $z_0$, отсюда ещё не следует, что $F(x,y,z)$ — тоже многочлен второй степени. Рассмотрите, например, $F(x,y,z)=xyz$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая поверхность?
Сообщение19.01.2014, 16:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Да, все немножко сложнее.
Если рассматривать плоскости $z = \mathrm{const}$, то получим, что наша поверхность имеет вид $A(z)x^2 + 2B(z)xy + C(z)y^2 + 2D(z)x + 2E(z)y + F(z) = 0$. Дальше если подставим, например, плоскости $x = 0$, $x = 1$, $x = -1$, то получится, что $A, B, C, D, E, F$ - это многочлены как раз нужных степеней.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group