Алгебраическая поверхность?

[INGELRII]

Подскажите, правильно ли следующее утверждение:
Дана некоторая двумерная поверхность $P$ в $\mathbb{R}^3$. Известно, что сечение этой поверхности любой плоскостью дает алгебраическую кривую порядка 2 (включая сюда и вырожденные случаи типа параллельных прямых и тд). Тогда $P$ является алгебраической поверхностью порядка 2.

Сердцем чувствую, что это правда, но умом доказать не могу, увы.

Если это все-таки правда, то можно по идее обобщить утверждение на произвольное количество измерений и на произвольный порядок сечений?

[Sonic86]

Ну вот пусть условия для $P$ верны, $P$ задается уравнением $F(x,y,z)=0$. Рассечем $P$ плоскостями $x=0, y=0, z=0$: - получим, что $F(x,y,0),F(x,0,z),F(0,y,z)$ - многочлены общей степени 2. Отсюда вроде бы следует, что $F(x,y,z)$ - многочлен. Остальное вроде понятно. Или надо еще более формально?

[Someone]

Sonic86 в сообщении #816536 писал(а):

$F(x,y,0),F(x,0,z),F(0,y,z)$ - многочлены общей степени 2. Отсюда вроде бы следует, что $F(x,y,z)$ - многочлен.

Никак не следует. Мало ли что может быть за пределами этих трёх плоскостей.
Даже если $F(x,y,z_0)$, $F(x,y_0,z)$ и $F(x_0,y,z)$ — многочлены второй степени для всех $x_0$, $y_0$ и $z_0$, отсюда ещё не следует, что $F(x,y,z)$ — тоже многочлен второй степени. Рассмотрите, например, $F(x,y,z)=xyz$.

[Xaositect]

Да, все немножко сложнее.
Если рассматривать плоскости $z = \mathrm{const}$, то получим, что наша поверхность имеет вид $A(z)x^2 + 2B(z)xy + C(z)y^2 + 2D(z)x + 2E(z)y + F(z) = 0$. Дальше если подставим, например, плоскости $x = 0$, $x = 1$, $x = -1$, то получится, что $A, B, C, D, E, F$ - это многочлены как раз нужных степеней.