Исследование ряда на сходимость

[esko]

Сходится ли ряд

$$\sum_{n=1}^\infty |\cos(n)|^{n^2}$$

?

-- 18.01.2014, 02:33 --

Прогнал по всем возможным признакам сходимости рядов - не помогло. Искал предел последовательности

$$\lim_{n\to\infty}|\cos(n)|^{n}$$

, в итоге убедился, что 0 для неё такой же предел, что и 1. Никаких конструктивных рядов для сравнения искомой суммы с ними в голову не пришло. Идей пока больше нет.

[provincialka]

esko в сообщении #815953 писал(а):

в итоге убедился, что 0 для неё такой же предел, что и 1.

Что означают сии слова? И как вы в этом убедились?

[ИСН]

Сводится к вопросу о мере иррациональности пи.

[SpBTimes]

Докажите, что любое число из отрезка $[-1; 1]$ является пределом какой-то подпоследовательности последовательности $\cos(n)$

[ewert]

SpBTimes в сообщении #815994 писал(а):

Докажите, что любое число из отрезка $[-1; 1]$ является пределом какой-то подпоследовательности последовательности $\cos(n)$

Этого недостаточно -- важно, что это за подпоследовательность и с какой скоростью сходится (это два разных вопроса).

[SpBTimes]

И правда, я не обратил внимания на степень.

[sup]

Да здесь достаточно доказать, что для бесконечного количества $n$
$|\sin n| < C/n$
Тогда общий член ряда не стремится к 0. А для этого, насколько я понимаю, достаточно просто иррациональности $\pi$.

[ИСН]

Это если степень просто $n$. А если она $n^2$?

[provincialka]

Можно не только необходимый признак использовать. Может, какую-то модификацию радикального признака Коши? Хоть степень будет поменьше.

-- 18.01.2014, 12:39 --

Кажется, можно использовать последовательность наилучших приближений для $\pi$. То есть таких, для которых $|\pi-\frac mn|<\frac 1{n^2}$

[sup]

Так ведь косинус от синуса не линейно зависит .

[ИСН]

А, ну да. "Близко к 1" - это совсем не то, что "близко к 0", это легче.
Всё, что ли?

[provincialka]

ИСН в сообщении #816029 писал(а):

Всё, что ли?

Это вы ТС-а спрашиваете? То есть, мне писать решение не надо?

[ИСН]

Спрашиваю присутствующих. Писать не надо, достаточно сказать "Да, всё".

[provincialka]

Да, всё.

[SpBTimes]

ИСН в сообщении #816029 писал(а):

А, ну да. "Близко к 1" - это совсем не то, что "близко к 0", это легче.

А я не понял, можно поподробнее?