Дифференциальные уравнения - что это?

[Munin]

Предлагаю такую мысль. Мы знаем, что уравнение в производных выглядит, например, так:

$$F(x,y,y'_x)=0.$$

Его можно воспринимать как условие на функцию $y(x)$ в какой-то точке $x_0$: мы вычисляем $y(x_0),y'_x(x_0),$ и подставляем всё это в уравнение, и требуем, чтобы оно выполнялось. Не всякая функция подойдёт, даже та, которая принимает в этой точке нужное нам значение - нужно, оказывается, чтобы ещё и производная была подходящей, удовлетворяющей уравнению.

А теперь посмотрим на функцию как на график - то есть, на линию на плоскости $(x,y).$ Когда мы утверждаем что-то про производную, то это "тангенс-угла-наклона-касательной", то есть по сути, направление нашей линии. Как нам описать направление линии? Провести касательную, конечно же! Как нам описать касательную? Задать уравнение прямой! Вот так берём, и задаём: $Ax+By+C=0$... стоп. $x$ и $y$ - это координаты точки, через которую проходит наша кривая линия. Если мы будем использовать их и для того, и для другого, то запутаемся. Представим себе уравнение типа

"$A($тот $x,$ который для кривой$,$ тот $y,$ который для кривой$)\cdot{}$ тот $x,$ который для касательной, ${}+B($тот $x,$ который для кривой..."

Кошмар, правда? Нам нужно ввести два набора символов: один набор, скажем, $(x,y),$ относится только к кривой, а другой, скажем, $(X,Y),$ относится только к касательной. Тогда получается более внятно:

$$A(x,y)X+B(x,y)Y+C(x,y)=0.$$

Окей?

По сути, именно это дифференциалы и делают. Только они идут ещё чуть дальше. Заметим, что касательная (она теперь описывается в переменных $(X,Y)$) всегда проходит через точку $(x,y),$ поскольку в ней находится наша кривая, к которой эта касательная построена:

$$A(x,y)x+B(x,y)y+C(x,y)\equiv 0.$$

Это однозначно фиксирует одну из наших функций, выражает её через остальные:

$$C(x,y)\equiv -A(x,y)x-B(x,y)y.$$

И наше уравнение приобретает вид:

$$A(x,y)(X-x)+B(x,y)(Y-y)=0.$$

И чтобы не таскать это всё время за собой, вводят немного другие обозначения:

$$dx\equiv X-x,\qquad dy\equiv Y-y.$$

И окончательно уравнение приобретает вид:

$$A(x,y)dx+B(x,y)dy=0.$$

Вот и всё. Теперь очевидно, что $y'_x(x)=dy/dx,$ и в то же время можно оперировать $dx$ и $dy$ как простыми удобными переменными. Делить, умножать, и превращать уравнения в дифференциалах в уравнения с производными и обратно.

(в сторону)

И даже без форм обошёлся. Касательное пространство рулит!

[ewert]

provincialka в сообщении #815899 писал(а):

Например, мы смогли записать приращение функции в виде $f(x+dx)-f(x)=C\cdot dx+o(dx)$.

Не совсем так: $dx$ -- это всё-таки не приращение, а тоже дифференциал. Мы можем записать приращение функции как $f(x+\Delta x)-f(x)=C\cdot \Delta x+o(\Delta x)$, после чего имеем полное право ввести функцию двух переменных (линейную по второй): $df(x,\Delta x)=C\cdot\Delta x=f'(x)\cdot\Delta x$. И тут вдруг нечаянно выясняется, что если взять как частный случай функцию $f(x)\equiv x$, то $df(x,\Delta x)=\Delta x$. Или просто $dx=\Delta x$, где икс в левой части -- это не сама переменная, а функция, тождественно равная своему аргументу (а в правой части икса и вовсе нет -- это просто значок, входящий в составное обозначение). И вот теперь равенство $df(x)=f'(x)\,dx$ -- это формально точное равенство двух функций от двух аргументов каждая, только в левой части один аргумент опущен, а в правой опущены так и вовсе оба. Да, обозначение уродливое; но -- так исторически сложилось.

[provincialka]

ewert, вы, конечно, правы. Я просто хотела покороче написать. Подумалось, что для оперирования значком этого достаточно.

[Ales]

Deffe в сообщении #815891 писал(а):

Вот как раз этот момент и не понятен.

Попробуйте подойти к вопросу с алгебраической стороны и с практической стороны (для курса диф. ур. кажется этого достаточно)

Практическая сторона:
алгебраические действия с дифференциалами позволяют правильно решить некоторые уравнения,
значит эти действия верны и правильны, их надо выучить и использовать, к ним надо привыкнуть.

Алгебраическая сторона:
Взятие дифференциала имеет такие же алгебраические свойства, как и взятие производной:
$d(x+y) = dx + dy, dxy = xdy+ydx$.
Поэтому вместо уравнения с производными можно решать уравнения в дифференциалах с тем же самым результатом.

Можно еще так рассуждать: отношение дифференциалов - это производная, но только в другой записи,
которая более удобна для решения некоторых дифференциальных уравнений.

Ну и конечно же полезно будет ознакомиться с соответствующим разделом курса матана, где вводится понятие дифференциала (или просто прочитать другие комментарии).

[provincialka]

Вот мы стараемся, а ТС не приходит. Забыл, похоже, или некогда перед экзаменом.

[g______d]

Если нужно общее определение, то вот интересное обсуждение:

http://mathoverflow.net/questions/76620 ... -operators

Там же ссылки на литературу. Правда, участники не размениваются на мелочи и сразу определяют уравнения в частных производных.

[Ales]

Deffe в сообщении #815843 писал(а):

Допустим формально такую запись: $\mathrm{d} y = {y}'\mathrm{d} x$

Как раз такая запись некорректна, она запутывает.
Правильно так: $\mathrm{d} f(x) = {f}' (x)\mathrm{d} x$.

[Deffe]

provincialka в сообщении #816000 писал(а):

Вот мы стараемся, а ТС не приходит. Забыл, похоже, или некогда перед экзаменом.

Нет, не забыл, пытаюсь вникнуть, как раз сейчас читаю набежавшие ответы. Становится немного яснее что к чему, надеюсь, что для того, чтобы подготовится к экзамену этого хватит, а более подробно буду уже после разбираться, т.к. это уже немного отходит от непосредственно программы по ДУ.
Огромная благодарность всем отписавшимся!
Пойду учить дальше, если снова возникнут большие затруднения, напишу еще,точнее сначала буду искать ответ в книге, а потом уж писать ;)

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #815935 писал(а):

что уравнение в производных выглядит, например, так:

$$F(x,y,y'_x)=0.$$

забавно, что для таких уравнений теорема единственности нарушается казалось бы даже в самой безобидной ситуации $y-(y')^3=0$

[provincialka]

Ales в сообщении #816008 писал(а):

Как раз такая запись некорректна, она запутывает.

Да нет, с первым дифференциалом никакой особенно путаницы не происходит. В силу его инвариантности. Мы можем считать, что $y=f(x)$ или $y=h(t)$, где $h=f\circ g, x=g(t)$. Функции, задающие $y$, здесь разные, а выражение для $dy$ одно и то же.

[Ales]

provincialka в сообщении #816018 писал(а):

Да нет, с первым дифференциалом никакой особенно путаницы не происходит.

Я имел в виду, что производная (штрих) - это операция по отношению к функции.
Нехорошо применять нотацию, в которой функция обозначается так же, как независимая переменная.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #816015 писал(а):

для таких уравнений теорема единственности нарушается казалось бы даже в самой безобидной ситуации $y-(y')^3=0$

А что за "теорема единственности"?... Если она воистину единственности, то она ни разу не нарушается (в смысле не применима к этому уравнению).

[Deffe]

Oleg Zubelevich в сообщении #816015 писал(а):

Munin в сообщении #815935 писал(а):

что уравнение в производных выглядит, например, так:

$$F(x,y,y'_x)=0.$$

забавно, что для таких уравнений теорема единственности нарушается казалось бы даже в самой безобидной ситуации $y-(y')^3=0$

Это происходит потому, что $f(x,y)=\sqrt[3]{y}, \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{3 y^{2/3}}$ не существует в нуле?

[Oleg Zubelevich]

примерно так да, липшицевости нет в нуле у правой части $y'=\sqrt[3]{y}$ поэтому нет и единственности при начальных условиях $y(0)=0$
теорема Пеано в Ваш эезамен входит?

[Munin]

Кстати, да. Все эти определения, что "дифференциал функции есть функция от двух функций" - увы, не помогут решить не то что

Oleg Zubelevich в сообщении #816015 писал(а):

$y-(y')^3=0$

но даже и банального $dx=0.$ (Решение: $x=C,\,\,\forall C.$) А это уравнение среди уравнений в дифференциалах ну ничем не выделено.

Пример понебанальней, который может встретиться в упражнениях: $y\,dx-x\,dy=0.$ Предлагаю Deffe решить его самостоятельно.