2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интересное неравенство
Сообщение09.10.2007, 21:40 


15/02/07
67
Киев
Пусть $x_1, x_2, ... , x_{2007}$ - положительные действительные числа, для которых выполняется равенство
$\frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+...+\frac{1}{x_{2007}+1}=2006.$
Докажите, что справедливо неравенство
$\sqrt{x_1+x_2+...+x_{2007}+2007}\geq\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_{2007}}.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.10.2007, 22:27 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Методом множителей Лагранжа найдём экстремум функции $\sqrt{\sum_i x_i +2007}-\sum_i\sqrt{x_i}$ и устанавливаем, что минимум достигается, когда все равны 1/2006 при этом функция равна 0, максимум - когда все кроме одного равны и больше 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересное неравенство
Сообщение10.10.2007, 19:29 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
La|Verd писал(а):
Пусть $x_1, x_2, ... , x_{2007}$ - положительные действительные числа, для которых выполняется равенство
$\frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+...+\frac{1}{x_{2007}+1}=2006.$
Докажите, что справедливо неравенство
$\sqrt{x_1+x_2+...+x_{2007}+2007}\geq\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_{2007}}.$

Нашёл что-то красивое.
Пусть $$x_i=\frac{a_i}{s-a_i},$$ где $$\sum_{i=1}^{2007}a_i=s$$ и все $a_i>0.$
Осталось доказать, что $$\sum_{i=1}^{2007}\sqrt{\frac{a_i}{s-a_i}}\leq\sqrt{\sum_{i=1}^{2007}\frac{s}{s-a_i}.$$
Но функция $f(x)=\sqrt{x}$ является вогнутой на $[0,+\infty).$ Поэтому получаем:
$$\sum_{i=1}^{2007}\sqrt{\frac{a_i}{s-a_i}}=\sum_{i=1}^{2007}\left(\frac{a_i}{s}\cdot\sqrt{\frac{s^2}{a_i(s-a_i)}}\right)\leq\sqrt{\sum_{i=1}^{2007}\frac{a_is^2}{sa_i(s-a_i)}}=\sqrt{\sum_{i=1}^{2007}\frac{s}{s-a_i}.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2007, 19:45 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Да, это красиво. Как до этого додумались. Если специально не заниматься неравенствами очень трудно до этого додуматься - надо сделать целых 3 нестандартных шага.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2007, 21:06 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Руст
На самом деле, всё это - стандарт.
Вот неравенства, доказывающиеся подобными трюками:
Для неотрицательных чисел $a,$ $b$ и $c,$ никакие два из которых не равны нулю, докажите следующие неравенства:

$$\sum_{cyc}\sqrt{1+\frac{48a}{b+c}}\geq15$$ и $$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{a}{a+b}}\leq\frac{3}{\sqrt2}.$$
В первом ( слева ) нужно, правда, ещё что-то. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересное неравенство
Сообщение11.10.2007, 10:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5502
Нов-ск
arqady писал(а):
Пусть $$x_i=\frac{a_i}{s-a_i},$$ где $$\sum_{i=1}^{2007}a_i=s$$ и все $a_i>0.$

Откуда известно, что такие $a_i$ найдутся для заданных $x_i$?

Понял. Вопрос снимаю. Только зачем вообще здесь эти $a_i$?

$$\sqrt{\sum(1+x_i)}=\sqrt{\sum\frac{x_i}{1+x_i} \frac{(1+x_i)^2}{x_i}} \geq
\sum\frac{x_i}{1+x_i} \sqrt{\frac{(1+x_i)^2}{x_i}} = \sum \sqrt{x_i}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересное неравенство
Сообщение11.10.2007, 12:36 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
TOTAL писал(а):
Только зачем вообще здесь эти $a_i$?

Согласен, можно и без них.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group