Интересное неравенство

[La|Verd]

Пусть $x_1, x_2, ... , x_{2007}$ - положительные действительные числа, для которых выполняется равенство
$\frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+...+\frac{1}{x_{2007}+1}=2006.$
Докажите, что справедливо неравенство
$\sqrt{x_1+x_2+...+x_{2007}+2007}\geq\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_{2007}}.$

[Руст]

Методом множителей Лагранжа найдём экстремум функции $\sqrt{\sum_i x_i +2007}-\sum_i\sqrt{x_i}$ и устанавливаем, что минимум достигается, когда все равны 1/2006 при этом функция равна 0, максимум - когда все кроме одного равны и больше 0.

[arqady]

La|Verd писал(а):

Пусть $x_1, x_2, ... , x_{2007}$ - положительные действительные числа, для которых выполняется равенство
$\frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+...+\frac{1}{x_{2007}+1}=2006.$
Докажите, что справедливо неравенство
$\sqrt{x_1+x_2+...+x_{2007}+2007}\geq\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_{2007}}.$

Нашёл что-то красивое.
Пусть

$$x_i=\frac{a_i}{s-a_i},$$

где

$$\sum_{i=1}^{2007}a_i=s$$

и все $a_i>0.$
Осталось доказать, что

$$\sum_{i=1}^{2007}\sqrt{\frac{a_i}{s-a_i}}\leq\sqrt{\sum_{i=1}^{2007}\frac{s}{s-a_i}.$$

Но функция $f(x)=\sqrt{x}$ является вогнутой на $[0,+\infty).$ Поэтому получаем:

$$\sum_{i=1}^{2007}\sqrt{\frac{a_i}{s-a_i}}=\sum_{i=1}^{2007}\left(\frac{a_i}{s}\cdot\sqrt{\frac{s^2}{a_i(s-a_i)}}\right)\leq\sqrt{\sum_{i=1}^{2007}\frac{a_is^2}{sa_i(s-a_i)}}=\sqrt{\sum_{i=1}^{2007}\frac{s}{s-a_i}.$$

[Руст]

Да, это красиво. Как до этого додумались. Если специально не заниматься неравенствами очень трудно до этого додуматься - надо сделать целых 3 нестандартных шага.

[arqady]

Руст
На самом деле, всё это - стандарт.
Вот неравенства, доказывающиеся подобными трюками:
Для неотрицательных чисел $a,$ $b$ и $c,$ никакие два из которых не равны нулю, докажите следующие неравенства:

$$\sum_{cyc}\sqrt{1+\frac{48a}{b+c}}\geq15$$

и

$$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{a}{a+b}}\leq\frac{3}{\sqrt2}.$$

В первом ( слева ) нужно, правда, ещё что-то.

[TOTAL]

arqady писал(а):

Пусть

$$x_i=\frac{a_i}{s-a_i},$$

где

$$\sum_{i=1}^{2007}a_i=s$$

и все $a_i>0.$

Откуда известно, что такие $a_i$ найдутся для заданных $x_i$?

Понял. Вопрос снимаю. Только зачем вообще здесь эти $a_i$?

$$\sqrt{\sum(1+x_i)}=\sqrt{\sum\frac{x_i}{1+x_i} \frac{(1+x_i)^2}{x_i}} \geq \sum\frac{x_i}{1+x_i} \sqrt{\frac{(1+x_i)^2}{x_i}} = \sum \sqrt{x_i} $$

[arqady]

TOTAL писал(а):

Только зачем вообще здесь эти $a_i$?

Согласен, можно и без них.