Линейные комбинации

[Xvovan3]

Весь день читал ангем, к вечеру уже мозги не работают. Помогите разобраться: тривиальная лин. комбинация это по сути нулевой вектор, да?

[Felt]

тривиальный - значит простой, самый простой. Все коэффициенты в ЛК - нули.

[Xvovan3]

Ну да, но по сути нулевой вектор линейно выражается через непустую систему векторов: $0=0\cdot a_1+...+0\cdot a_k$, а в правой части стоит тривиальная лин. комбинация.

[svv]

Да. Это нулевой вектор.

Но.

Линейная комбинация — это не совсем вектор. Это скорее функция от векторов и коэффициентов. При фиксированных векторах это линейная функция от коэффициентов. Её значение, да, равно некоторому вектору.

Вот векторы $\mathbf i, \mathbf j$.
Вот ещё вектор $\mathbf a=\mathbf i+\mathbf j$.

Комбинация $0\mathbf i+0\mathbf j$ тривиальная и равна нулевому вектору.
А комбинация $1\mathbf i+1\mathbf j-1\mathbf a$ нетривиальная (потому что коэффициенты при векторах не все равны нулю, и даже ни один не равен нулю). А значение то же: нулевой вектор.

Так что не всё так просто. Значения равны. А линейные комбинации разные.

[Xvovan3]

svv, спасибо!) Про то, что не любой нулевой вектор тривиален я знал) просто задумался о том, что любая тривиальная комбинация - это нулевой вектор, и ее присутствие в системе означает присутствие нулевого вектора.

(Оффтоп)

Кстати, не могли бы вы помочь мне с доказательством того, что всякая подсистема лин. независимой системы является независимой?

[Sinoid]

(Оффтоп)

Xvovan3 в сообщении #815463 писал(а):

Кстати, не могли бы вы помочь мне с доказательством того, что всякая подсистема лин. независимой системы является независимой

Так это доказывается от противного

[Xvovan3]

(Оффтоп)

Sinoid в сообщении #815465 писал(а):

Так это доказывается от противного

Точно, что ж я сам не додумался), спасибо Sinoid

[svv]

Xvovan3 в сообщении #815463 писал(а):

Про то, что не любой нулевой вектор тривиален я знал

Лучше говорить о тривиальности не векторов, а линейных комбинаций. Нулевой вектор в данном векторном пространстве только один, но он может быть значением самых разных линейных комбинаций, как тривиальных, так и нетривиальных.

Если нулевой вектор является значением нетривиальной линейной комбинации, соответствующая система векторов линейно зависима. Если тривиальной — ничего нельзя сказать, система может быть и зависима, и нет.

Xvovan3 в сообщении #815463 писал(а):

всякая подсистема лин. независимой системы является независимой

Допустим, это не так, т.е. некоторая подсистема $P$ зависима, а вся система $S$ независима. Тогда существует нетривиальная линейная комбинация векторов $P$, равная нулю. Допишем к ней остальные векторы системы $S$ с нулевыми коэффициентами. Чему это всё равно? Чему это противоречит?

[Xvovan3]

svv в сообщении #815470 писал(а):

Лучше говорить о тривиальности не векторов, а линейных комбинаций.

Я это и имел в виду) сейчас прочитал свою запись и понял что что-то не то написал)) а до док-ва я догадался уже, но все равно спасибо))
Тут у меня еще вопрос появился: получается, что и любая нетривиальная линейная комбинация равна нулю. Например, пусть у нас нетрив. лин. комбинация равна ненулевому вектору, тогда мы можем перенести этот вектор со знаком минус, и у нас получится нетрив. лин. комбинация, которая равна нулю. Поправьте меня, если я не прав.

[svv]

В тот момент, когда Вы к исходной линейной комбинации добавляете минус её значение, Вы получаете новую линейную комбинацию. Приготовленная таким способом линейная комбинация, действительно, всегда равна нулю. Но не исходная.

У нас в Харькове сейчас час ночи, а сколько в Екатеринбурге, мне даже подумать страшно. Спокойной ночи!

[Xvovan3]

Действительно, я почему то не подумал, что мы новую лин. комбинацию таким образом создаем! Большое спасибо svv!))