2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вопросы по функ. анализу
Сообщение16.01.2014, 20:19 
1. Существует ли для любого подпространства банахова подпространства даугое подпространство, прямая сумма которого с первым даёт всё пространство?
2. Существует ли линейный изоморфизм, непрерывно отображающий не банахово нормированное пространство на банахово?
3. Всегда ли пересечение образов плотного линейного многообразия под действием сопряжённых плотно определённых линейных инъективных операторов гильбертова пространства плотно?

Какие теоремы могут дать ответ на эти вопросы?

 
 
 
 Re: Вопросы по функ. анализу
Сообщение16.01.2014, 21:14 
ivvan в сообщении #815302 писал(а):
Существует ли линейный изоморфизм, непрерывно отображающий не банахово нормированное пространство на банахово?

Пусть $X$ -- банахово пространство и $\{e_j\}\quad j\in J,\quad\|e_j\|=1$ -- базис Гамеля в нем. Через $Y$ обозначим пространство конечных наборов $(x_{j_1},\ldots, x_{j_n}),\quad j_k\in J$ ; снабдим это пространство $l_1$ нормой. Вроде бы $Y\to X$ должен быть искомый изоморфизм $(x_{j_1},\ldots, x_{j_n})\mapsto \sum_k x_{j_k}e_{j_k}$

 
 
 
 Re: Вопросы по функ. анализу
Сообщение16.01.2014, 21:17 
Oleg Zubelevich в сообщении #815304 писал(а):
существует, а вот замкнутого дополнения может не существовать

Подпространства подразумевались замкнутыми.
Oleg Zubelevich в сообщении #815304 писал(а):
банахово пространство неизоморфно ни какому нормированному не полному пространству. Если под изоморфизмом понимать линейный гомеоморфизм

Иеется в виду изоморфизм между линейными пространствами без учёта заданной на них топологической структуры.
Oleg Zubelevich в сообщении #815304 писал(а):
б-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р

$A : L \rightarrow H$ - инъективное линейное отображение, $L\in H$ - плотное в гильбертовом пространстве $H$ подпространство. Будет ли плотно в $H$ $A(L)\cap A^*(L)$?

 
 
 
 Re: Вопросы по функ. анализу
Сообщение16.01.2014, 21:19 
см выше

 
 
 
 Re: Вопросы по функ. анализу
Сообщение17.01.2014, 10:40 
ivvan в сообщении #815302 писал(а):
3. Всегда ли пересечение образов плотного линейного многообразия под действием сопряжённых плотно определённых линейных инъективных операторов гильбертова пространства плотно?

Образ даже симметричного оператора не обязан быть плотным, т.е. индексы дефекта не обязаны быть нулевыми.

 
 
 
 Re: Вопросы по функ. анализу
Сообщение17.01.2014, 12:22 
ivvan в сообщении #815325 писал(а):

$A : L \rightarrow H$ - инъективное линейное отображение, $L\in H$ - плотное в гильбертовом пространстве $H$ подпространство. Будет ли плотно в $H$ $A(L)\cap A^*(L)$?

:facepalm: Уже для оператора сдвига в $l^2$ моё утверждение неверно.

 
 
 
 Re: Вопросы по функ. анализу
Сообщение17.01.2014, 14:01 
А если $A(L)$ плотно, будет ли плотно $A(L)\cap A^*(L)$?
Или хотя бы $A^*(L)$?

-- 17.01.2014, 15:10 --

Где эти задачи разбираются?

 
 
 
 Re: Вопросы по функ. анализу
Сообщение17.01.2014, 14:10 
Рассмотрите $L^2[-1,1]$ и оператор $(Au)(x)=u(x/2)$

 
 
 
 Re: Вопросы по функ. анализу
Сообщение17.01.2014, 14:17 
Oleg Zubelevich в сообщении #815611 писал(а):
Рассмотрите $L^2[-1,1]$ и оператор $(Au)(x)=u(x/2)$

Вроде бы $A$ не инъективен.

 
 
 
 Re: Вопросы по функ. анализу
Сообщение17.01.2014, 15:23 
нет, не инъективен, но ответ на вопрос всеравно "нет"
если $A(L), A^*(L)$ плотные множества, то должен быть определен $(A^{-1})^{**}$, а с какой стати...

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group