Вопросы по функ. анализу

[ivvan]

1. Существует ли для любого подпространства банахова подпространства даугое подпространство, прямая сумма которого с первым даёт всё пространство?
2. Существует ли линейный изоморфизм, непрерывно отображающий не банахово нормированное пространство на банахово?
3. Всегда ли пересечение образов плотного линейного многообразия под действием сопряжённых плотно определённых линейных инъективных операторов гильбертова пространства плотно?

Какие теоремы могут дать ответ на эти вопросы?

[Oleg Zubelevich]

ivvan в сообщении #815302 писал(а):

Существует ли линейный изоморфизм, непрерывно отображающий не банахово нормированное пространство на банахово?

Пусть $X$ -- банахово пространство и $\{e_j\}\quad j\in J,\quad\|e_j\|=1$ -- базис Гамеля в нем. Через $Y$ обозначим пространство конечных наборов $(x_{j_1},\ldots, x_{j_n}),\quad j_k\in J$ ; снабдим это пространство $l_1$ нормой. Вроде бы $Y\to X$ должен быть искомый изоморфизм $(x_{j_1},\ldots, x_{j_n})\mapsto \sum_k x_{j_k}e_{j_k}$

[ivvan]

Oleg Zubelevich в сообщении #815304 писал(а):

существует, а вот замкнутого дополнения может не существовать

Подпространства подразумевались замкнутыми.

Oleg Zubelevich в сообщении #815304 писал(а):

банахово пространство неизоморфно ни какому нормированному не полному пространству. Если под изоморфизмом понимать линейный гомеоморфизм

Иеется в виду изоморфизм между линейными пространствами без учёта заданной на них топологической структуры.

Oleg Zubelevich в сообщении #815304 писал(а):

б-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р-р

$A : L \rightarrow H$ - инъективное линейное отображение, $L\in H$ - плотное в гильбертовом пространстве $H$ подпространство. Будет ли плотно в $H$ $A(L)\cap A^*(L)$?

[Oleg Zubelevich]

см выше

[ewert]

ivvan в сообщении #815302 писал(а):

3. Всегда ли пересечение образов плотного линейного многообразия под действием сопряжённых плотно определённых линейных инъективных операторов гильбертова пространства плотно?

Образ даже симметричного оператора не обязан быть плотным, т.е. индексы дефекта не обязаны быть нулевыми.

[ivvan]

ivvan в сообщении #815325 писал(а):

$A : L \rightarrow H$ - инъективное линейное отображение, $L\in H$ - плотное в гильбертовом пространстве $H$ подпространство. Будет ли плотно в $H$ $A(L)\cap A^*(L)$?

Уже для оператора сдвига в $l^2$ моё утверждение неверно.

[ivvan]

А если $A(L)$ плотно, будет ли плотно $A(L)\cap A^*(L)$?
Или хотя бы $A^*(L)$?

-- 17.01.2014, 15:10 --

Где эти задачи разбираются?

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрите $L^2[-1,1]$ и оператор $(Au)(x)=u(x/2)$

[ivvan]

Oleg Zubelevich в сообщении #815611 писал(а):

Рассмотрите $L^2[-1,1]$ и оператор $(Au)(x)=u(x/2)$

Вроде бы $A$ не инъективен.

[Oleg Zubelevich]

нет, не инъективен, но ответ на вопрос всеравно "нет"
если $A(L), A^*(L)$ плотные множества, то должен быть определен $(A^{-1})^{**}$, а с какой стати...