Интегрирование по частям и подстановки Эйлера

[amoral10]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Вот какая у меня проблемка.

Нужно было найти интеграл: $I=\int \sqrt{x^2-1} dx$, который легко берется методом интегрирования по частям:
u=\sqrt{x^2-1}, du=\frac{x dx}{\sqrt{x^2-1}}, dv=dx, v=x, и как следствие:
I=x \sqrt{x^2-1} -\int \frac{x^2 dx}{\sqrt{x^2-1}}=x \sqrt{x^2-1}-I-\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}. Откуда получаем:
$I=\frac{x}{2} \sqrt{x^2-1}-\frac{1}{2}\ln(x+\sqrt{x^2-1})+C$

Но угораздило меня попробовать найти его при помощи подстановки:
$\sqrt{x^2-1}=x+t$ (подстановка Эйлера)
Откуда следуют следующие уравнения:
$x^2-1=x^2+2tx+t^2$
$t^2+2tx=-1$
$x=-\frac{t^2+1}{2t}$
$dx=\frac{1-t^2}{2t}dt$
$x+t=\frac{t^2-1}{2t}$

Теперь наш интеграл принимает вид
$I=\int \frac{t^2-1}{2t}\frac{1-t^2}{2t^2}dt= -\frac{1}{4}\int (\frac{t^4-2t^2+1}{t^3})dt= -\frac{1}{4}(\frac{t^2}{2}-\frac{1}{2t^2}-2\ln t)$

Окончательно, подставляя сюда $t=\sqrt{x^2-1}-x$, получаем следующее выражение:

$I=-\frac{1}{8}(\sqrt{x^2-1}-x)^2+\frac{1}{8(\sqrt{x^2-1}-x)^2}+\frac{1}{2}\ln (\sqrt{x^2-1}-x)+C$

которое, к моему большому удивлению (и огорчению) не совпадает с ответом, полученным интегрированием по частям.

Может я где-то ошибся при использовании подстановки Эйлера?

[ИСН]

Вы точно уверены в своей способности отличать одинаковое от разного?

[Limit79]

amoral10 в сообщении #815209 писал(а):

не совпадает с ответом

ответ верный

[amoral10]

Э воно как!
чет я не сориентировался

[svv]

Увидеть, как каждое из слагаемых трансформируется из одной формы в другую — полезный опыт. Обещаю по одному удивлению на каждое слагаемое.