Удобнее описывать ориентируемость не при помощи нормали, а при помощи векторов, лежащих в самой поверхности. Возьмём точку, и отложим от неё два единичных вектора, перпендикулярных друг другу. Пусть они будут бесконечно маленькими, чтобы не "высовываться" из поверхности. Такие два вектора задают
репер в этой точке. Разумеется, векторы в репере упорядочены: мы знаем, какой из них "первый", а какой "второй".
Если мы смотрим на точку с одной стороны поверхности, то векторы в репере образуют правую систему: поворот от "первого" ко "второму" идёт против часовой стрелки, как от оси
к оси
на обычной координатной плоскости. Но если мы посмотрим на ту же точку с другой стороны поверхности, то мы увидим левую систему.
Когда мы путешествуем по поверхности, то мы можем переносить с собой репер. Пусть он при этом может поворачиваться как целое - нас это не волнует. Главное, что угол между его векторами остаётся
Тогда репер будет задавать нам ориентацию, он позволит перенести ориентацию из одной точки поверхности в другую.
Путешествуя по сфере, мы всегда вернёмся в исходную точку с репером, ориентированным так же, как и в начале путешествия. Именно это означают слова, что сфера - ориентируемая поверхность (ориентацию можно разнести из одной точки по всем точкам). А вот путешествуя по листу Мёбиуса, мы можем вернуться в исходную точку с репером, ориентированным наоборот. И это означает, что лист Мёбиуса - неориентируемая поверхность. Бутылка Клейна, проективная плоскость - тоже неориентируемые поверхности (в отличие от листа Мёбиуса, они без края).
Такое понятие ориентируемости легко распространить на любое количество измерений. Репер будет содержать столько векторов, сколько требует внутренняя размерность пространства. Так что, можно представить себе неориентируемое трёхмерное пространство, четырёхмерное, и т. д.
