Кватернионы и периодические функции

[Macavity]

Как известно периодические функции - это интересный и полезный класс функций.

На области определения действительных чисел - например, sin(x) и cos(x) полезные и часто используемые в анализе...

Если за область определения взять комплексные числа, то другим примером периодических функций будет экспонента - e^z. В данном случае период - мнимое число.

Однако, если область определения - комплексные числа, то у мероморфной функции может быть два периода. Это, так называемые, эллиптические функции. Они использовались при доказательстве большой теоремы Ферма, они используются для эллиптического шифрования (в частности потому, что для них работает теорема Вейерштрасса о функциях, обладающих алгебраической теоремой сложения)...

А что кватернионы, могут ли на них (область определения) быть созданы функции с двумя, тремя, четырьма периодами?
Если да, играют ли такие функции такую же важную роль как эллиптические?
Есть ли для них аналог теоремы Вейерштрасса?
Или такие исследования не делались или были признаны не перспективными?

[Руст]

Macavity писал(а):

А что кватернионы, могут ли на них (область определения) быть созданы функции с двумя, тремя, четырьма периодами?
Если да, играют ли такие функции такую же важную роль как эллиптические?
Есть ли для них аналог теоремы Вейерштрасса?
Или такие исследования не делались или были признаны не перспективными?

Аналогом аналитических функций $R^n\to R^n$ являются конформные функции сохраняющие углы, т.е. функции, у которых Якобиан в каждой точке имеет вид матрицы константа умноженная на ортогональную (лучше специальную щртогональную) матрицу. Такие аналоги имеют некоторые применения. Однако, здесь нельзя сопоставить якобиану такой матрицы (размерность таких матриц n(n-1)/2+1) число, являющееся "производным" (размерность n меньше размерности возможных значений Якобианов). Нельзя добится этого сопоставления даже взяв подгруппу из SO_n, она простая и не имеет хороших транзитивных подгрупп. Поэтому, аналогия получается не полной. К тому же при n>2, указанные функции (композиция которых опять такая функция) нельзя суммировать, оставаясь в этом классе (сумма "аналитических функций" не "аналитично").
Что касается периодичности, то это легко строит функции с любой дискретной подгруппой периодов, только не улается сделать их и "аналитическими" не постоянными при размерности решёток больше 2. Поэтому, здесь хорошие обобщения получаются только оставаясь в рамках комплексных функций (возможно с переходом к функциям многих переменных).

[PSP]

Macavity писал(а):

быть созданы функции с двумя, тремя, четырьма периодами?

Вроде это гиперэллиптические функции, т.е. функции, обратные гиперэллиптическим интегралам..

[lofar]

Руст писал(а):

Нельзя добится этого сопоставления даже взяв подгруппу из SO_n, она простая и не имеет хороших транзитивных подгрупп.

Не совсем так, например группа $SO(4)$ не простая. Ее центр нетривиален, он содержит $-E$.

[Macavity]

Руст,
PSP,
lofar.
Спасибо.