отбор корней

[kda_ximik]

правильно ли отобраны корни?
-------------------------------------
$sinx+\cos2x-sin2x=1, x\in [-\frac{4\pi}{3};0]$
$sinx+1-2sin^2x-2sinxcosx=1$

$sinx(1-2sinx-2cosx)=0$

$1) sinx=0, 2) (1-2sinx-2cosx)=0$

$1) x=\pi k, k\in\mathbb{Z}$
условию удовлетворяют $x=0, -\pi$.
Теперь со вторым уравнением:

$sinx+cosx=\frac{1}{2}$
$sinx+sin(\frac{\pi}{2}-x)=\frac{1}{2}$
$cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2\sqrt2}$
$cost=\frac{1}{2\sqrt2}, t\in [-\frac{19\pi}{12};-\frac{\pi}{4}]$
$t=\pm arccos\frac{1}{2\sqrt2}+2\pi n$
Положительная серия корней отпадает по понятным причинам. В отрицательной серии отпадают дополнительные "обороты" за счет $2\pi$, т.к. по условию задан отрезок меньше $2\pi$. Остается только "-арккосинус...". На единичной окружности абсциссе $\frac{1}{2}$ соответствует поворот на $-\frac{\pi}{3}$ (рассматриваем только отрицательные значения). Так как $\frac{1}{2\sqrt2}<\frac{1}{2}$, то абсциссе $\frac{1}{2\sqrt2}$, соответствует еще больший поворот (по модулю), чем $-\frac{\pi}{3}$. Очевидно, такой угол $t$ входит в $[-\frac{19\pi}{12};-\frac{\pi}{4}]$.
Возвращаемся к старым переменным:
$x=-arccos\frac{1}{2\sqrt2}+ \frac{\pi}{4}$
В итоге: $x=0, \pi, -arccos\frac{1}{2\sqrt2}+ \frac{\pi}{4}$

Все ли правильно???

[iifat]

kda_ximik в сообщении #814632 писал(а):

$t=\pm \arccos\frac{1}{2\sqrt2}+2\pi n$

А $t=\arccos\frac{1}{2\sqrt2}-2\pi$ действительно не попадает в интервал? Мог не заметить, но как-то лихо вы его исключили, нет?

[kda_ximik]

Будем отталкиваться опять от абсциссы, равной $\frac{1}{2}$, ей соответствует поворот на $\frac{\pi}{3}$. После поворота на $2\pi$ против часовой имеем угол $-\frac{5\pi}{3}$. После возвращения к старым переменным получим угол $-\frac{5\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=-\frac{17\pi}{12} (-255^{\circ})$. Ну а если учесть, что реально знаменатель не $2$, а $2\sqrt2$, то наш угол будет несколько больше (по модулю). Такой угол не попадает в заданный отрезок - от $-240^{\circ}$ до $0^{\circ}$
Кажется, должно быть так...