Коэффициенты полинома и конечные разности

[TOTAL]

HaimTal в сообщении #814246 писал(а):

Для начала хочу понять, если для полинома степени $n$ с известными коэффициентами вычислить $ y(x) для $n+1 $ точек при $x_0...x_n=0...n$, а затем по полученным значениям интерполировать, получатся ли у интерполирующего полинома той же степени те же коэффициенты, что и у исходного?

Если интерполирующий полином записан в той же форме, что и исходный полином, то у него будут те же самые коэффициенты.

[HaimTal]

iifat в сообщении #814238 писал(а):

Независимо от чего хотели, не расскажете, как это у вас константы-то получились?

Эээ.. Вероятно надо было написать $P_0(x)=1$ $P_1(x)=\frac x 2 $ $P_2(x)=2\frac{2x^2} 3$ и т.д ?

[TOTAL]

HaimTal в сообщении #814255 писал(а):

Эээ.. Вероятно надо было написать $P_0(x)=1$ $P_1(x)=\frac x 2 $ $P_2(x)=2\frac{2x^2} 3$ и т.д ?

Надо было, чтобы что? Чтобы наступило вечное лето, не надо было этого писать. Или хотели что-то другое? Что именно?

[iifat]

Ну, такая запись вызывает меньше вопросов, если вы об этом. Хотя, куда деваются промежуточные степени, таки непонятно. Вы, простите, внимательно читали формулы?

[HaimTal]

iifat в сообщении #814268 писал(а):

Ну, такая запись вызывает меньше вопросов, если вы об этом. Хотя, куда деваются промежуточные степени, таки непонятно. Вы, простите, внимательно читали формулы?

Судя по всему невнимательно. Какие промежуточные степени?!

Попробую выписать свой частный случай формулы Ньютона, а вы (участники форума) скажете где я ошибаюсь. Реально хочу разобраться.
Итак.
$q=\frac{x-x_0} h$.
$x_0$ у меня равно $0$. $h=1$. Следовательно вместо $q$ я могу поставить просто $x$.
Далее.
$P_n(x)$ состоит из сумм членов. Да, вот как надо было записать. $P_3(x)=1+\frac x 2 + 2\frac{2x^2} 2 + 6x^3$.

Кроме свободного члена, все остальные коэффициенты явно посчитаны неправильно.
Попробуем снова.

Член первой степени: $q \Delta y_1$, или $3x$. (Ошибка была раньше!)
Член второй степени: $\frac{q(q-1)} {2!} \Delta^2 y_2$, или $8 \frac {x^2-x } 2 $ (Так-так-так)
Член третьей степени: $\frac{q(q-1)(q-2)} {3!} \Delta^3 y_3$, или $6 \frac {x^3-3x^2+2x} 6$
Что в сумме:$P_3(x)=1+x+x^2+x^3$

Супер! Всем спасибо!